Az egyenlőtlenségek és egyenlőtlenségek rendszerei az egyik olyan téma, amelyet a középiskolai algebra tanít. Nehézségi szempontból nem a legnehezebb, mert egyszerű szabályai vannak (ezekről kicsit később). Az iskolások általában könnyen megtanulják az egyenlőtlenségi rendszerek megoldását. Ez annak is köszönhető, hogy a tanárok egyszerűen "kiképezik" diákjaikat ebben a témában. És ezt nem tehetik meg, mert a jövőben más matematikai mennyiségek felhasználásával tanulmányozzák, és ellenőrzik az OGE-t és az egységes államvizsgát is. Az iskolai tankönyvekben az egyenlőtlenségek és egyenlőtlenségi rendszerek témája nagyon részletesen foglalkozik, így ha tanulmányozni akarja, akkor a legjobb, ha ezekhez folyamodik. Ez a cikk csak átfogalmazása sok anyagnak, és tartalmazhat néhány kihagyást.
Az egyenlőtlenségek rendszerének fogalma
Ha a tudományos nyelv felé fordulunk, akkor meghatározhatjuk a „rendszer” fogalmátegyenlőtlenségek". Ez egy olyan matematikai modell, amely több egyenlőtlenséget reprezentál. Természetesen ez a modell megoldást igényel, és ez lesz az általános válasz a rendszer összes, a feladatban javasolt egyenlőtlenségére (általában így írják, pl. példa: "Oldja meg a 4 x + 1 > 2 és 30 - x > 6… egyenlőtlenségrendszert".
Egyenlőtlenségrendszerek és egyenletrendszerek
Az új téma elsajátítása során gyakran adódnak félreértések. Egyrészt minden világos és inkább nekiállok a feladatok megoldásának, másrészt viszont néhány pillanat az "árnyékban" marad, nem jól érthető. Emellett a már megszerzett tudás egyes elemei összefonhatók újakkal. Az átfedés következtében gyakran előfordulnak hibák.
Ezért, mielőtt témánk elemzéséhez kezdenénk, felidézzük az egyenletek és egyenlőtlenségek közötti különbségeket, azok rendszereit. Ehhez még egyszer tisztázni kell, mik is ezek a matematikai fogalmak. Az egyenlet mindig egyenlőség, és mindig egyenlő valamivel (a matematikában ezt a szót jellel jelölik). Az egyenlőtlenség olyan modell, amelyben az egyik érték nagyobb vagy kisebb, mint a másik, vagy azt az állítást tartalmazza, hogy nem ugyanaz. Így az első esetben az egyenlőségről illik beszélni, a második esetben pedig bármennyire nyilvánvalóan hangzik ismaga a név, a kiindulási adatok egyenlőtlenségéről. Az egyenlet- és egyenlőtlenségrendszerek gyakorlatilag nem különböznek egymástól, és a megoldási módszerek is megegyeznek. Az egyetlen különbség az, hogy az előbbi egyenlőtlenségeket, míg az utóbbi egyenlőtlenségeket használ.
Az egyenlőtlenségek típusai
Kétféle egyenlőtlenség létezik: numerikus és ismeretlen változós egyenlőtlenség. Az első típus olyan értékeket (számokat) tartalmaz, amelyek nem egyenlőek egymással, például 8 > 10. A második típus egy ismeretlen változót tartalmazó egyenlőtlenségek (a latin ábécé valamelyik betűje, leggyakrabban X). Ezt a változót meg kell találni. Attól függően, hogy hány van, a matematikai modell megkülönböztet egy egyenlőtlenséget (egy változós egyenlőtlenségrendszert alkotnak) vagy több változót (több változóból álló egyenlőtlenségrendszert alkotnak).
Az utolsó két típus felépítésük foka és a megoldás bonyolultsági foka szerint egyszerű és összetett típusra oszlik. Az egyszerűeket lineáris egyenlőtlenségnek is nevezik. Ezek viszont szigorú és nem szigorúra oszlanak. Szigorúan kifejezetten "mondják", hogy egy értéknek vagy kisebbnek vagy többnek kell lennie, tehát ez tiszta egyenlőtlenség. Számos példa van: 8 x + 9 > 2, 100 - 3 x > 5 stb. A nem szigorúak közé tartozik az egyenlőség is. Vagyis egy érték lehet nagyobb vagy egyenlő egy másik értéknél ("≧" jel), vagy kisebb vagy egyenlő egy másik értéknél ("≦" jel). Még mindig sorbanAz egyenlőtlenségekben a változó nem a gyökérben, négyzetben áll, nem osztható semmivel, ezért nevezik "egyszerűnek". Az összetettek ismeretlen változókat tartalmaznak, amelyek megtalálása több matematikai műveletet igényel. Gyakran négyzetben, kockában vagy gyökér alatt vannak, lehetnek modulárisak, logaritmikusak, törtek stb. De mivel a feladatunk az egyenlőtlenségrendszerek megoldásának megértése, ezért lineáris egyenlőtlenségek rendszeréről fogunk beszélni. Előtte azonban érdemes néhány szót ejteni tulajdonságaikról.
Az egyenlőtlenségek tulajdonságai
Az egyenlőtlenségek tulajdonságai a következő rendelkezéseket tartalmazzák:
- Az egyenlőtlenség előjele megfordul, ha az oldalak sorrendjének megváltoztatására irányuló műveletet alkalmazzuk (például ha t1 ≦ t2, majd t 2 ≧ t1).
- Az egyenlőtlenség mindkét része lehetővé teszi, hogy ugyanazt a számot adja hozzá önmagához (például ha t1 ≦ t2, majd t 1 + szám ≦ t2 + szám).
- Két vagy több egyenlőtlenség azonos irányú előjellel lehetővé teszi bal és jobb oldali részük hozzáadását (például ha t1 ≧ t2 , t3 ≧ t4, majd t1 + t 3 ≧ t2 + t4).
- Az egyenlőtlenség mindkét része lehetővé teszi, hogy ugyanazzal a pozitív számmal szorozzuk vagy osztjuk (például ha t1 ≦ t2és szám ≦ 0, majd t1 ≧ t2).
- Két vagy több egyenlőtlenség, amelyek pozitív feltételekkel és azonos irányú előjellel rendelkeznek, lehetővé teszikszorozzuk egymást (például ha t1 ≦ t2, t3 ≦ t4, t1, t2, t3, t 4 ≧ 0, majd t1 t3 ≦ t2 t4).
- Az egyenlőtlenség mindkét része megengedi magát ugyanazzal a negatív számmal szorozni vagy osztani, de az egyenlőtlenség előjele megváltozik (például ha t1 ≦ t2 és szám ≦ 0, majd t1 ≧ t2).
- Minden egyenlőtlenség tranzitív (például ha t1 ≦ t2 és t2≦ t3, majd t1 ≦ t3).
Most, az egyenlőtlenségekkel kapcsolatos elmélet főbb rendelkezéseinek áttanulmányozása után, közvetlenül áttérhetünk a rendszereik megoldásának szabályaira.
Egyenlőtlenségi rendszerek megoldása. Általános információ. Megoldások
Amint fentebb említettük, a megoldás a változó azon értékei, amelyek az adott rendszer összes egyenlőtlenségére illeszkednek. Az egyenlőtlenségrendszerek megoldása olyan matematikai műveletek végrehajtása, amelyek végül a teljes rendszer megoldásához vezetnek, vagy igazolják, hogy nincs megoldása. Ebben az esetben a változóról azt mondjuk, hogy az üres számkészletre vonatkozik (a következőképpen írva: a változót jelölő betű ∈ (a "tartozik" jel) ø (az "üres halmaz" jel), például x ∈ ø (így olvasható: "Az "x" változó az üres halmazhoz tartozik"). Az egyenlőtlenségrendszerek megoldására többféle megoldás létezik:grafikus, algebrai, helyettesítési módszer. Érdemes megjegyezni, hogy azokra a matematikai modellekre vonatkoznak, amelyekben több ismeretlen változó is van. Abban az esetben, ha csak egy van, a térköz módszer megteszi.
Grafikus módszer
Lehetővé teszi egy egyenlőtlenségrendszer megoldását több ismeretlennel (kettőből vagy többből). Ennek a módszernek köszönhetően a lineáris egyenlőtlenségek rendszere meglehetősen egyszerűen és gyorsan megoldható, így ez a legelterjedtebb módszer. Ennek az az oka, hogy az ábrázolás csökkenti a matematikai műveletek írásának mennyiségét. Különösen kellemessé válik, ha egy kis szünetet tartunk a tolltól, felveszünk egy ceruzát egy vonalzóval és segítségükkel folytatjuk a további műveleteket, ha sok munka elkészült, és egy kis változatosságra vágyik. Néhányan azonban nem szeretik ezt a módszert, mivel el kell szakadnia a feladattól, és szellemi tevékenységét rajzolásra kell váltania. Ez azonban egy nagyon hatékony módszer.
Egy egyenlőtlenségrendszer grafikus módszerrel történő megoldásához az egyes egyenlőtlenségek minden tagját át kell vinni a bal oldalukra. Az előjelek megfordulnak, jobbra nullát kell írni, majd minden egyenlőtlenséget külön kell írni. Ennek eredményeképpen az egyenlőtlenségekből függvényeket kapunk. Ezután kaphat egy ceruzát és egy vonalzót: most meg kell rajzolnia minden kapott függvény grafikonját. A metszéspontjuk intervallumában lévő számok teljes halmaza lesz az egyenlőtlenségrendszer megoldása.
Algebrai módszer
Lehetővé teszi egy egyenlőtlenségrendszer megoldását két ismeretlen változóval. Az egyenlőtlenségeknek is azonos egyenlőtlenségjellel kell rendelkezniük (vagyis vagy csak a "nagyobb" jelet, vagy csak a "kisebb, mint" előjelet stb.) Korlátai ellenére ez a módszer is bonyolultabb. Alkalmazása két lépésben történik.
Az első az egyik ismeretlen változótól való megszabadulás. Először ki kell választania, majd ellenőrizze, hogy vannak-e számok a változó előtt. Ha nincsenek ilyenek (akkor a változó egy betűnek fog kinézni), akkor nem változtatunk semmit, ha van (a változó típusa pl. 5y vagy 12y lesz), akkor ellenőrizni kell hogy minden egyenlőtlenségben a kiválasztott változó előtti szám azonos. Ehhez meg kell szorozni az egyenlőtlenségek minden tagját egy közös tényezővel, például ha az első egyenlőtlenségbe 3y, a másodikba pedig 5y van írva, akkor az első egyenlőtlenség összes tagját meg kell szorozni 5-tel., a második pedig 3-mal. 15 évet, illetve 15 évet kap.
A döntés második szakasza. Minden egyenlőtlenség bal oldalát át kell vinni a jobb oldalukra úgy, hogy az egyes tagok előjelét az ellenkezőjére változtatjuk, a jobb oldalon nullát kell írni. Ezután jön a szórakoztató rész: megszabadulni a választott változótól (más néven "csökkentés"), miközben összeadja az egyenlőtlenségeket. Kapsz egy egyenlőtlenséget egy változóval, amelyet meg kell oldani. Ezt követően ugyanezt kell tennie, csak egy másik ismeretlen változóval. A kapott eredmények jelentik majd a rendszer megoldását.
Helyettesítési mód
Lehetővé teszi egy egyenlőtlenségrendszer megoldását, ha lehetősége van új változó bevezetésére. Általában ezt a módszert alkalmazzuk, ha az egyenlőtlenség egyik tagjában az ismeretlen változót a negyedik hatványra emeljük, a másik tagban pedig négyzetre emeljük. Ez a módszer tehát a rendszerbeli egyenlőtlenségek mértékének csökkentését célozza. Az x4 - x2 - 1 ≦ 0 mintaegyenlőtlenséget a következőképpen oldjuk meg. Egy új változó kerül bevezetésre, például t. Azt írják: "Let t=x2", ekkor a modell átíródik egy új formában. Esetünkben azt kapjuk, hogy t2 - t - 1 ≦0. Ezt az egyenlőtlenséget meg kell oldani az intervallum módszerrel (erről kicsit később), majd vissza kell térni az X változóhoz, majd ugyanezt megtenni egy másik egyenlőtlenséggel. A kapott válaszok a rendszer döntése lesz.
Intervallummódszer
Ez a legkönnyebb módja az egyenlőtlenségi rendszerek megoldásának, ugyanakkor univerzális és elterjedt. Középiskolában, sőt középiskolában is használják. Lényege abban rejlik, hogy a tanuló a füzetbe rajzolt számegyenesen egyenlőtlenségi intervallumokat keres (ez nem grafikon, hanem csak egy közönséges egyenes számokkal). Ahol az egyenlőtlenségek intervallumai metszik egymást, ott megtaláljuk a rendszer megoldását. A térköz használatához kövesse az alábbi lépéseket:
- Az egyes egyenlőtlenségek minden tagja átkerül a bal oldalra, az ellenkező előjellel (a jobb oldalra nullát írunk).
- Az egyenlőtlenségeket külön írjuk ki, mindegyik megoldását meghatározzuk.
- A numerikus egyenlőtlenségek metszéspontjaiegyenes. Ezekben a kereszteződésekben minden szám lesz a megoldás.
Milyen módon használja?
Nyilván a legegyszerűbbnek és legkényelmesebbnek tűnő, de vannak esetek, amikor a feladatok egy bizonyos módszert igényelnek. Leggyakrabban azt mondják, hogy vagy grafikonnal, vagy intervallum módszerrel kell megoldani. Az algebrai módszert és a behelyettesítést rendkívül ritkán vagy egyáltalán nem alkalmazzák, mivel meglehetősen bonyolultak és zavarosak, ráadásul inkább egyenletrendszerek megoldására használják, nem pedig egyenlőtlenségekre, ezért érdemes grafikonok és intervallumok rajzolásához folyamodni. Láthatóságot hoznak, ami csak hozzájárul a matematikai műveletek hatékony és gyors elvégzéséhez.
Ha valami nem működik
Az algebra egy adott témakörének tanulmányozása során természetesen problémák adódhatnak a megértésével. És ez normális, mert agyunk úgy van kialakítva, hogy nem képes egyhuzamban megérteni az összetett anyagot. Gyakran újra kell olvasnia egy bekezdést, igénybe kell vennie egy tanár segítségét, vagy gyakorolnia kell a tipikus problémák megoldását. A mi esetünkben például így néznek ki: "Oldja meg a 3 x + 1 ≧ 0 és a 2 x - 1 > 3 egyenlőtlenségrendszert". Így a személyes törekvés, a kívülállók segítsége és a gyakorlat segít bármilyen összetett téma megértésében.
Reshebnik?
És a megoldási könyv is nagyon jó, de nem házi feladat megcsalásra, hanem önsegélyre. Ezekben megoldással rendelkező egyenlőtlenségi rendszereket találhat, nézze meg(mint a sablonok), próbálja meg pontosan megérteni, hogy a megoldás szerzője hogyan birkózott meg a feladattal, majd próbálja meg egyedül elvégezni.
Következtetések
Az algebra az egyik legnehezebb tantárgy az iskolában. Nos, mit tehetsz? A matematika mindig is ilyen volt: van akinek könnyen megy, van akinek nehéz. De mindenesetre emlékezni kell arra, hogy az általános oktatási programot úgy alakították ki, hogy bármely diák megbirkózik vele. Ezenkívül szem előtt kell tartania az asszisztensek nagy számát. Néhányukat fentebb említettük.
