A sztereometria a háromdimenziós geometriai alakzatok jellemzőinek tanulmányozása. Az egyik jól ismert térfogati ábra, amely a geometriai feladatokban megjelenik, az egyenes prizma. Nézzük meg ebben a cikkben, hogy mi ez, és írjunk le részletesen egy háromszög alappal rendelkező prizmát.
Prizma és típusai
A prizma egy olyan alak, amely egy sokszög térbeli párhuzamos fordítása eredményeként jön létre. Ennek a geometriai műveletnek az eredményeként egy ábra keletkezik, amely több paralelogrammából és két egymással párhuzamosan egyforma sokszögből áll. A párhuzamos ábrák a prizma oldalai, a sokszögek pedig az alapjai.
Bármely prizmának van n+2 oldala, 3n éle és 2n csúcsa, ahol n a sokszög alapjának sarkainak vagy oldalainak száma. A képen egy ötszögletű prizma látható, amelynek 7 oldala, 10 csúcsa és 15 éle van.
A figyelembe vett alakosztályt többféle prizma képviseli. Röviden felsoroljuk őket:
- homorú és domború;
- ferde és egyenes;
- rossz és helyes.
Minden figura a felsorolt három osztályozási típus valamelyikéhez tartozik. Geometriai feladatok megoldása során a legegyszerűbb szabályos és egyenes prizmákra számítani. Ez utóbbiról részletesebben a cikk következő bekezdéseiben lesz szó.
Mi az egyenes prizma?
Az egyenes prizma egy homorú vagy konvex, szabályos vagy szabálytalan prizma, amelyben minden old alt 90°-os szögű négyszögek ábrázolnak. Ha az oldalak legalább egyik négyszöge nem téglalap vagy négyzet, akkor a prizmát ferdenek nevezzük. Egy másik definíció is megadható: az egyenes prizma egy adott osztály olyan alakja, amelyben bármely oldalél egyenlő a magassággal. A prizma h magassága alatt feltételezzük az alapjai közötti távolságot.
Mindkét megadott definíció, hogy ez egy közvetlen prizma, egyenlő és önellátó. Ezekből az következik, hogy az alapok és az oldalak közötti összes diéderszög 90°.
Fentebb elhangzott, hogy a feladatok megoldása során kényelmes egyenes figurákkal dolgozni. Ez annak köszönhető, hogy a magasság megegyezik az oldalborda hosszával. Ez utóbbi tény megkönnyíti az ábra térfogatának és oldalfelületének területének kiszámítását.
Közvetlen prizma térfogata
Térfogat - bármely térbeli alakzatban rejlő érték, amely számszerűen tükrözi a térnek a vizsgált felületek közötti részét.tárgy. A prizma térfogata a következő általános képlettel számítható ki:
V=Soh.
Azaz az alap magasságának és területének szorzata adja a kívánt V értéket. Mivel egy egyenes prizma alapjai egyenlőek, akkor az So terület meghatározásához elviheted bármelyiket.
A fenti képlet kifejezetten egyenes prizmára való használatának előnye a többi típushoz képest, hogy nagyon könnyű megtalálni az ábra magasságát, mivel az egybeesik az oldalél hosszával.
Oldal terület
Kényelmes nemcsak a térfogatot kiszámítani a szóban forgó osztály egyenes alakjához, hanem annak oldalfelületét is. Valójában bármelyik oldala téglalap vagy négyzet. Minden tanuló tudja, hogyan kell kiszámítani ezeknek a lapos alakzatoknak a területét, ehhez meg kell szorozni a szomszédos oldalakat egymással.
Tegyük fel, hogy a prizma alapja egy tetszőleges n-szög, amelynek oldalai egyenlők ai-val. Az i index 1-től n-ig fut. Egy téglalap területét a következőképpen számítjuk ki:
Si=aih.
Az Sboldalfelület területe könnyen kiszámítható, ha összeadja az összes Si téglalap területet. Ebben az esetben az Sbegyenes prizma végső képletét kapjuk:
Sb=h∑i=1(ai)=hPo.
Így egy egyenes prizma oldalfelületének meghatározásához meg kell szorozni a magasságát egy alap kerületével.
Probléma a háromszög alakú prizmával
Tegyük fel, hogy adott egy egyenes prizma. Az alap egy derékszögű háromszög. Ennek a háromszögnek a lábai 12 cm és 8 cm Ki kell számolni az ábra térfogatát és teljes területét, ha a prizma magassága 15 cm.
Először is számítsuk ki egy egyenes prizma térfogatát. Az alapjainál elhelyezkedő háromszög (téglalap alakú) területe:
So=a1a2/2=128/2=48 cm2.
Ahogy sejtheti, a1 és a2 ennek az egyenletnek a lábai. Az alapterület és magasság ismeretében (lásd a feladat feltételét) használhatja a V képletet:
V=Soh=4815=720 cm3.
Az ábra teljes területét két rész alkotja: az alapok területei és az oldalfelület. A két bázis területei:
S2o=2So=482=96 cm2.
Az oldalfelület kiszámításához ismernie kell a derékszögű háromszög kerületét. Számítsuk ki a Pitagorasz-tétellel annak hipotenuszát a3, a következőt kapjuk:
a3 =√(a12+ a2 2)=√(122+ 82)=14,42 cm.
Akkor a jobb oldali prizma alapjának háromszögének kerülete a következő lesz:
P=a1+ a2+ a3=12 + 8 + 14, 42=34, 42 cm.
Az előző bekezdésben leírt Sb képlet alkalmazása,get:
Sb=hP=1534, 42=516, 3 cm.
Az S2o és Sb területeit összeadva megkapjuk a vizsgált geometriai alakzat teljes felületét:
S=S2o+ Sb=96 + 516, 3=612, 3 cm2.
Egy speciális üvegből készült háromszög alakú prizmát használnak az optikában a fényt kibocsátó tárgyak spektrumának tanulmányozására. Az ilyen prizmák képesek a fényt komponens-frekvenciákra bontani a diszperzió jelensége miatt.
