Egyenes prizma felülete: képletek és példa egy feladatra

2024 Szerző: Angel Austin | [email protected]. Utoljára módosítva: 2024-01-02 17:48

A térfogat és a felület két fontos jellemzője minden olyan testnek, amelynek véges méretei vannak a háromdimenziós térben. Ebben a cikkben a poliéderek - prizmák - jól ismert osztályát tekintjük. Különösen az a kérdés fog kiderülni, hogyan lehet megtalálni az egyenes prizma felületét.

Mi az a prizma?

A prizma minden olyan poliéder, amelyet több paralelogramma és két párhuzamos síkban elhelyezkedő azonos sokszög határol. Ezeket a sokszögeket tekintjük az ábra alapjainak, paralelogrammái pedig az oldalaknak. Az alap oldalainak (sarkainak) száma határozza meg az ábra nevét. Például az alábbi ábra egy ötszögletű prizmát mutat.

Az alapok közötti távolságot az ábra magasságának nevezzük. Ha a magasság megegyezik bármely oldalél hosszával, akkor egy ilyen prizma egyenes lesz. Az egyenes prizma második elégséges jellemzője, hogy minden oldala téglalap vagy négyzet. Ha mégisHa az egyik oldal általános paralelogramma, akkor az ábra ferde lesz. Az alábbiakban láthatja, hogy az egyenes és a ferde prizmák vizuálisan különböznek a négyszög alakú alakzatok példáján.

Egyenes prizma felülete

Ha egy geometriai alakzatnak n-szögű alapja van, akkor n+2 lapból áll, amelyek közül n téglalap. Jelöljük az alap oldalainak hosszát a_i, ahol i=1, 2, …, n, és jelöljük az ábra magasságát, amely megegyezik az alaplap hosszával. oldalsó él, mint a h. Az összes lap felületének területének (S) meghatározásához adja hozzá az egyes alapok S_{o területét és az oldalak (téglalapok) összes területét. Így az S képlet általános formában a következőképpen írható fel:}

S=2S_o+ S_b

Ahol S_{b az oldalfelület.}

Mivel az egyenes prizma alapja bármilyen lapos sokszög lehet, ezért egyetlen képlet S_{okiszámításához nem adható meg, és ennek az értéknek a meghatározásához általánosságban esetben geometriai elemzést kell végezni. Például, ha az alap egy szabályos n-szög, amelynek oldala a, akkor területét a következő képlettel számítjuk ki:}

S_o=n/4ctg(pi/n)a²

Ami az S_{b értékét illeti, megadható a számítási kifejezés. Egy egyenes prizma oldalfelülete:}

S_b=h∑_i=1(a_i)

Azaz az értékAz S_{b az ábra magasságának és alapja kerületének szorzataként kerül kiszámításra.}

Példa problémamegoldásra

Alkalmazzuk a megszerzett ismereteket a következő geometriai feladat megoldására. Adott egy prizma, melynek alapja egy derékszögű háromszög, melynek oldalai 5 cm és 7 cm derékszögűek. Az ábra magassága 10 cm. Meg kell találni egy derékszögű háromszög prizma felületét.

Először is számítsuk ki a háromszög hipotenuzáját. Ez egyenlő lesz:

c=√(5²+ 7^{2)=8,6 cm}

Most végezzünk még egy előkészítő matematikai műveletet – számítsuk ki az alap kerületét. Ez lesz:

P=5 + 7 + 8,6=20,6 cm

Az ábra oldalfelületének területét a P érték és a h=10 cm magasság szorzataként számítjuk ki, azaz S_b=206 cm ^2.

A teljes felület területének meghatározásához két alapterületet kell hozzáadni a talált értékhez. Mivel a derékszögű háromszög területét a lábak szorzatának fele határozza meg, a következőt kapjuk:

2S_o=257/2=35 cm²

Ekkor azt kapjuk, hogy egy egyenes háromszög alakú prizma felülete 35 + 206=241 cm2.