A gázok viselkedésének fizikában történő tanulmányozása során gyakran felmerülnek problémák a bennük tárolt energia meghatározásával, amely elméletileg hasznosítható munkák elvégzésére. Ebben a cikkben megvizsgáljuk azt a kérdést, hogy milyen képletekkel lehet kiszámítani egy ideális gáz belső energiáját.
Az ideális gáz fogalma
Az ideális gáz fogalmának világos megértése fontos az ilyen aggregált állapotú rendszerekkel kapcsolatos problémák megoldása során. Bármely gáz felveszi az edény alakját és térfogatát, amelybe helyezik, azonban nem minden gáz ideális. Például a levegő ideális gázok keverékének tekinthető, míg a vízgőz nem. Mi az alapvető különbség a valódi gázok és ideális modelljük között?
A kérdésre a következő két jellemző lesz a válasz:
- a gázt alkotó molekulák és atomok kinetikai és potenciális energiájának aránya;
- a részecskék lineáris méreteinek arányagáz és a köztük lévő átlagos távolság.
Egy gáz csak akkor tekinthető ideálisnak, ha részecskéinek átlagos kinetikus energiája összemérhetetlenül nagyobb, mint a köztük lévő kötési energia. Ezen energiák közötti különbség akkora, hogy feltételezhetjük, hogy a részecskék közötti kölcsönhatás teljesen hiányzik. Az ideális gázt az is jellemzi, hogy a részecskéinek nincsenek méretei, vagy inkább figyelmen kívül hagyhatók ezek a méretek, mivel sokkal kisebbek, mint az átlagos részecskék közötti távolságok.
A gázrendszer ideálisságának meghatározására jó empirikus kritériumok a termodinamikai jellemzők, például a hőmérséklet és a nyomás. Ha az első nagyobb, mint 300 K, a második pedig kisebb, mint 1 atmoszféra, akkor bármely gáz ideálisnak tekinthető.
Mekkora a gáz belső energiája?
Mielőtt leírná az ideális gáz belső energiájának képletét, meg kell ismernie ezt a jellemzőt közelebbről.
A termodinamikában a belső energiát általában a latin U betűvel jelöljük. Általános esetben a következő képlet határozza meg:
U=H - PV
Ahol H a rendszer entalpiája, P és V a nyomás és a térfogat.
Fizikai értelmében a belső energia két összetevőből áll: kinetikus és potenciális. Az első a rendszer részecskéinek különféle mozgásaihoz kapcsolódik, a második pedig a köztük lévő erőkölcsönhatáshoz. Ha ezt a meghatározást egy ideális gáz fogalmára alkalmazzuk, amelynek nincs potenciális energiája, akkor U értéke a rendszer bármely állapotában pontosan megegyezik a kinetikus energiájával, azaz:
U=Ek.
A belső energiaképlet származéka
A fentiekben azt találtuk, hogy egy ideális gázzal rendelkező rendszer meghatározásához ki kell számítani a mozgási energiáját. Az általános fizika tantárgyaiból ismert, hogy egy bizonyos irányban v sebességgel előre haladó m tömegű részecske energiáját a következő képlet határozza meg:
Ek1=mv2/2.
Gázrészecskékre (atomokra és molekulákra) is alkalmazható, azonban néhány megjegyzést meg kell tenni.
Először is, a v sebességet valamilyen átlagos értékként kell érteni. Az a tény, hogy a gázrészecskék a Maxwell-Boltzmann eloszlásnak megfelelően különböző sebességgel mozognak. Ez utóbbi lehetővé teszi az átlagsebesség meghatározását, amely nem változik az idő múlásával, ha nincs külső hatás a rendszerre.
Másodszor, az Ek1 képlete szabadságfokonkénti energiát feltételez. A gázrészecskék mindhárom irányban mozoghatnak, és szerkezetüktől függően foroghatnak is. A z szabadságfok figyelembevételéhez meg kell szorozni Ek1-val, azaz:
Ek1z=z/2mv2.
A teljes rendszer kinetikus energiája Ek N-szer nagyobb, mint Ek1z, ahol N a gázrészecskék összes száma. Akkor a következőt kapjuk:
U=z/2Nmv2.
E képlet szerint a gáz belső energiájának változása csak akkor lehetséges, ha az N részecskék száma megváltozikrendszer, vagy az átlagos sebességük v.
Belső energia és hőmérséklet
Az ideális gáz molekuláris kinetikai elméletének rendelkezéseit alkalmazva a következő képletet kaphatjuk egy részecske átlagos kinetikus energiája és az abszolút hőmérséklet közötti összefüggésre:
mv2/2=1/2kBT.
Itt kB a Boltzmann-állandó. Ha ezt az egyenlőséget behelyettesítjük a fenti bekezdésben kapott U képletbe, a következő kifejezéshez jutunk:
U=z/2NkBT.
Ez a kifejezés átírható az n anyag mennyiségével és az R gázállandóval a következő formában:
U=z/2nR T.
E képlet szerint egy gáz belső energiájának változása lehetséges, ha a hőmérsékletét megváltoztatjuk. Az U és T értékek lineárisan függenek egymástól, vagyis az U(T) függvény grafikonja egy egyenes.
Hogyan befolyásolja a gázrészecske szerkezete a rendszer belső energiáját?
A gázrészecske (molekula) szerkezete az azt alkotó atomok számára utal. Döntő szerepet játszik, amikor az U képletben a megfelelő z szabadsági fokot helyettesítjük. Ha a gáz egyatomos, akkor a gáz belső energiájának képlete a következő:
U=3/2nRT.
Honnan jött a z=3 érték? Megjelenése mindössze három szabadságfokkal kapcsolódik egy atomhoz, mivel csak a három térbeli irány egyikében tud mozogni.
Ha kétatomosgázmolekulát, akkor a belső energiát a következő képlettel kell kiszámítani:
U=5/2nRT.
Mint látható, egy kétatomos molekulának már van 5 szabadsági foka, ebből 3 transzlációs és 2 forgásos (a molekula geometriájának megfelelően két, egymásra merőleges tengely körül tud forogni).
Végül, ha a gáz három vagy több atomos, akkor az U következő kifejezése igaz:
U=3nRT.
Az összetett molekulák 3 transzlációs és 3 forgási szabadságfokkal rendelkeznek.
Példaprobléma
A dugattyú alatt 1 atmoszféra nyomású egyatomos gáz található. A melegítés hatására a gáz úgy bővült, hogy térfogata 2 literről 3-ra nőtt. Hogyan változott a gázrendszer belső energiája, ha a tágulási folyamat izobár volt.
A probléma megoldásához a cikkben megadott képletek nem elegendőek. Fel kell idéznünk az ideális gáz állapotegyenletét. Az alábbiak szerint néz ki.
Mivel a dugattyú gázzal zárja a hengert, az n anyag mennyisége állandó marad a tágulási folyamat során. Izobár folyamat során a hőmérséklet a rendszer térfogatával egyenes arányban változik (Charles-törvény). Ez azt jelenti, hogy a fenti képlet a következő lenne:
PΔV=nRΔT.
Ekkor a monoatomikus gáz belső energiájának kifejezése a következő formában lesz:
ΔU=3/2PΔV.
Ebbe az egyenletbe behelyettesítve a nyomás és térfogatváltozás SI-egységben mért értékeit, azt a választ kapjuk: ΔU ≈ 152 J.
