A geometria egyik axiómája kimondja, hogy bármely két ponton keresztül lehetséges egyetlen egyenest húzni. Ez az axióma arról tanúskodik, hogy létezik egy egyedi numerikus kifejezés, amely egyedileg írja le a megadott egydimenziós geometriai objektumot. Tekintsük a cikkben azt a kérdést, hogyan írjuk fel a két ponton áthaladó egyenes egyenletét.
Mi az a pont és egy egyenes?
Mielőtt megvizsgálnánk egy egyenlet különböző pontokon átmenő egyenesének térbeli és síkbeli felépítését, meg kell határozni a megadott geometriai objektumokat.
Egy pontot egy adott koordinátatengely-rendszerben egy koordinátakészlet egyedileg határoz meg. Rajtuk kívül nincs több jellemzője a pontnak. Ő egy nulldimenziós objektum.
Ha egyenes vonalról beszélünk, mindenki egy fehér papírlapon ábrázolt vonalat képzel el. Ugyanakkor pontos geometriai definíció is megadhatóezt a tárgyat. Az egyenes olyan pontok gyűjteménye, amelyekre mindegyiknek az összes többivel való összekapcsolása párhuzamos vektorok halmazát eredményezi.
Ezt a definíciót egy egyenes vektoregyenletének beállításakor használjuk, amelyről az alábbiakban lesz szó.
Mivel bármely vonal megjelölhető tetszőleges hosszúságú szegmenssel, azt egydimenziós geometriai objektumnak mondják.
Számvektor függvény
Egy áthaladó egyenes két pontján áthaladó egyenlet különböző formában írható fel. A háromdimenziós és kétdimenziós terekben a fő és intuitív módon érthető numerikus kifejezés a vektor.
Tegyük fel, hogy van valamilyen irányított u¯(a; b; c) szegmens. A 3D térben az u¯ vektor bármely pontból indulhat, így koordinátái párhuzamos vektorok végtelen halmazát határozzák meg. Ha azonban kiválasztunk egy adott P pontot (x0; y0; z0), és feltesszük ez az u¯ vektor kezdete, akkor ezt a vektort megszorozva egy tetszőleges λ valós számmal, megkaphatjuk egy térbeli egyenes minden pontját. Vagyis a vektoregyenlet a következőképpen lesz felírva:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ(a; b; c)
Nyilvánvalóan a síkon a numerikus függvény a következő alakot ölti:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b)
Ennek az egyenlettípusnak az előnye a többihez képest (szegmensekben, kanonikus,általános forma) abban rejlik, hogy kifejezetten tartalmazza az irányvektor koordinátáit. Ez utóbbit gyakran használják annak meghatározására, hogy az egyenesek párhuzamosak vagy merőlegesek.
Általános szegmensekben és kanonikus függvény egy egyeneshez kétdimenziós térben
Feladatok megoldása során néha fel kell írni egy két ponton átmenő egyenes egyenletét egy bizonyos, meghatározott formában. Ezért ennek a geometriai objektumnak a kétdimenziós térben való megadásának más módjait is meg kell adni (az egyszerűség kedvéért a síkon lévő esetet vizsgáljuk).
Kezdjük egy általános egyenlettel. A következő formában van:
Ax + By + C=0
Általában a síkon az egyenes egyenlete ilyen formában van felírva, csak y van explicit módon definiálva x-en keresztül.
Most alakítsa át a fenti kifejezést a következőképpen:
Ax + By=-C=>
x/(-C/A) + y/(-C/B)=1
Ezt a kifejezést szegmensbeli egyenletnek nevezzük, mivel az egyes változókhoz tartozó nevező megmutatja, hogy a vonalszakasz mennyi ideig vág el a megfelelő koordinátatengelyen a kezdőponthoz képest (0; 0).
Még egy példa a kanonikus egyenletre. Ehhez kifejezetten felírjuk a vektoregyenlőséget:
x=x0+ λa;
y=y0+ λb
Kifejezzük innen a λ paramétert, és egyenlőségjelezzük a kapott egyenlőségeket:
λ=(x - x0)/a;
λ=(y - y0)/b;
(x -x0)/a=(y - y0)/b
Az utolsó egyenlőséget kanonikus vagy szimmetrikus formában egyenletnek nevezzük.
Mindegyik átalakítható vektorrá és fordítva.
Két ponton áthaladó egyenes egyenlete: összeállítási technika
Vissza a cikk kérdéséhez. Tegyük fel, hogy két pont van a térben:
M(x1; y1; z1) és N(x 2; y2; z2)
Az egyetlen egyenes halad át rajtuk, melynek egyenletét nagyon könnyű vektor formában összeállítani. Ehhez kiszámítjuk az MN¯ irányított szakasz koordinátáit, a következőt kapjuk:
MN¯=N - M=(x2-x1; y2- y1; z2-z1)
Nem nehéz kitalálni, hogy ez a vektor lesz az irányadó az egyeneshez, amelynek egyenletét meg kell kapni. Tudva, hogy M-en és N-n is áthalad, bármelyikük koordinátáit felhasználhatjuk vektorkifejezéshez. Ekkor a kívánt egyenlet a következő alakot veszi fel:
(x; y; z)=M + λMN¯=>
(x; y; z)=(x1; y1; z1) + λ(x2-x1; y2-y1; z2-z1)
A kétdimenziós tér esetére hasonló egyenlőséget kapunk a z változó részvétele nélkül.
Amint a vonal vektoregyenlősége meg van írva, bármely más formára lefordítható, amit a probléma kérdése megkíván.
Feladat:írj fel egy általános egyenletet
Ismert, hogy egy egyenes halad át a (-1; 4) és (3; 2) koordinátájú pontokon. Meg kell alkotni egy rajtuk áthaladó egyenes egyenletét általános formában, y-t x-ben kifejezve.
A feladat megoldásához először vektoros formában írjuk fel az egyenletet. A vektor (vezető) koordináták:
(3; 2) - (-1; 4)=(4; -2)
Ekkor az egyenes egyenletének vektoralakja a következő:
(x; y)=(-1; 4) + λ(4; -2)
Meg kell írni általános formában y(x) formában. Ezt az egyenlőséget explicit módon átírjuk, kifejezzük a λ paramétert és kizárjuk az egyenletből:
x=-1 + 4λ=>λ=(x+1)/4;
y=4 - 2λ=> λ=(4-y)/2;
(x+1)/4=(4-y)/2
A kapott kanonikus egyenletből y-t fejezünk ki, és eljutunk a probléma kérdésére adott válaszhoz:
y=-0,5x + 3,5
Ennek az egyenlőségnek az érvényessége a feladatmeghatározásban megadott pontok koordinátáinak helyettesítésével ellenőrizhető.
Probléma: a szakasz közepén áthaladó egyenes
Most oldjunk meg egy érdekes problémát. Tegyük fel, hogy két M(2; 1) és N(5; 0) pont adott. Ismeretes, hogy a pontokat összekötő és rá merőleges szakasz felezőpontján egy egyenes halad át. Írja fel a szakasz közepén áthaladó egyenes egyenletét vektoros formában.
A kívánt numerikus kifejezés ennek a középpontnak a koordinátájának kiszámításával és az irányvektor meghatározásával alakítható ki, amelyszakasz 90°-os szöget zár beo.
A szakasz felezőpontja:
S=(M + N)/2=(3, 5; 0, 5)
Most számoljuk ki az MN¯ vektor koordinátáit:
MN¯=N - M=(3; -1)
Mivel a kívánt egyenes irányvektora merőleges az MN¯-re, a skaláris szorzatuk egyenlő nullával. Ez lehetővé teszi a kormányvektor ismeretlen koordinátáinak (a; b) kiszámítását:
a3 - b=0=>
b=3a
Most írja fel a vektoregyenletet:
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + λ(a; 3a)=>
(x; y)=(3, 5; 0, 5) + β(1; 3)
Itt az aλ terméket egy új β paraméterrel helyettesítettük.
Így elkészítettük a szakasz közepén áthaladó egyenes egyenletét.
