Az algebrában kétféle egyenlőség – azonosságok és egyenletek – fogalma létezik. Az identitások olyan egyenlőségek, amelyek a bennük szereplő betűk bármely értékére megvalósíthatók. Az egyenletek is egyenlőségek, de csak a bennük szereplő betűk bizonyos értékeire valósíthatók meg.
A betűk általában nem egyenlőek a feladat szempontjából. Ez azt jelenti, hogy egyesek bármilyen megengedett értéket felvehetnek, úgynevezett együtthatókat (vagy paramétereket), míg mások - ismeretleneknek - olyan értékeket vehetnek fel, amelyeket a megoldási folyamat során meg kell találni. Az ismeretlen mennyiségeket az egyenletekben általában betűkkel jelöljük, a latin ábécé utolsóit (x.y.z stb.), vagy ugyanazokkal a betűkkel, de indexszel (x1, x 2 stb.), és az ismert együtthatók ugyanazon ábécé első betűivel vannak megadva.
Az ismeretlenek száma alapján megkülönböztetünk egy, kettő és több ismeretlent tartalmazó egyenleteket. Így az ismeretlenek minden olyan értékét, amelyre a megoldandó egyenlet azonossággá alakul, az egyenletek megoldásának nevezzük. Egy egyenlet akkor tekinthető megoldottnak, ha minden megoldása megtalálható, vagy bebizonyosodik, hogy nincs. Az "egyenlet megoldása" feladat gyakori a gyakorlatban, és azt jelenti, hogy meg kell találni az egyenlet gyökerét.
Definíció: az egyenlet gyökerei a megengedett értékek tartományából származó ismeretlenek azon értékei, amelyeknél a megoldandó egyenlet azonossággá válik.
A teljesen minden egyenlet megoldásának algoritmusa ugyanaz, és az a jelentése, hogy ezt a kifejezést matematikai transzformációk segítségével egyszerűbb formára kell redukálni. Az azonos gyökerű egyenleteket az algebra ekvivalensnek nevezi.
A legegyszerűbb példa: 7x-49=0, az egyenlet gyöke x=7;x-7=0, hasonlóképpen az x=7 gyök, ezért az egyenletek ekvivalensek. (Speciális esetekben előfordulhat, hogy az egyenértékű egyenleteknek egyáltalán nincs gyöke.)
Ha egy egyenlet gyöke egy másik, az eredeti egyenletből transzformációkkal kapott egyszerűbb egyenlet gyöke is, akkor az utóbbit az előző egyenlet következményének nevezzük.
Ha a két egyenlet egyike a másik következménye, akkor egyenértékűnek tekintendő. Egyenértékűnek is nevezik őket. A fenti példa ezt illusztrálja.
Még a legegyszerűbb egyenletek gyakorlati megoldása is gyakran nehéz. A megoldás eredményeként az egyenletnek egy gyökét, kettőt vagy többet, akár végtelen számot is kaphat - ez az egyenletek típusától függ. Vannak olyanok is, amelyeknek nincs gyökere, ezeket nevezik eldönthetetlennek.
Példák:
1) 15x -20=10; x=2. Ez az egyenlet egyetlen gyöke.
2) 7x - y=0. Az egyenletnek végtelen sok gyöke van, mivel minden változónak számtalan lehetértékek száma.
3) x2=- 16. A második hatványra emelt szám mindig pozitív eredményt ad, így lehetetlen megtalálni az egyenlet gyökerét. Ez az egyik fent említett megoldhatatlan egyenlet.
A megoldás helyességét a betűk helyett a talált gyökök helyettesítésével és a kapott példa megoldásával ellenőrizzük. Ha az azonosság érvényes, a megoldás helyes.
