Az egyenletek megoldása a matematikában különleges helyet foglal el. Ezt a folyamatot sok órás elmélettanulás előzi meg, amely során a hallgató megtanulja, hogyan kell egyenleteket megoldani, meghatározni azok formáit, és a készséget a teljes automatizmusba vinni. A gyökerek keresésének azonban nem mindig van értelme, mivel előfordulhat, hogy egyszerűen nem léteznek. Vannak speciális módszerek a gyökerek megtalálására. Ebben a cikkben elemezzük a fő funkciókat, azok hatókörét, valamint azokat az eseteket, amikor a gyökereik hiányoznak.
Melyik egyenletnek nincs gyökere?
Egy egyenletnek nincs gyökere, ha nincsenek olyan valódi x argumentumok, amelyekre az egyenlet azonosan igaz. Egy nem szakember számára ez a megfogalmazás, mint a legtöbb matematikai tétel és képlet, nagyon homályosnak és elvontnak tűnik, de ez elméletben van. A gyakorlatban minden rendkívül egyszerűvé válik. Például: a 0x=-53 egyenletnek nincs megoldása, mivel nincs olyan x szám, amelynek nullával való szorzata mást adna, mint nulla.
Most megnézzük a legalapvetőbb egyenlettípusokat.
1. Lineáris egyenlet
Egy egyenletet lineárisnak nevezünk, ha jobb és bal oldali részét lineáris függvényként ábrázoljuk: ax + b=cx + d vagy általánosított formában kx + b=0. Ahol a, b, c, d ismert számok, és x egy ismeretlen mennyiség. Melyik egyenletnek nincs gyöke? Példák lineáris egyenletekre az alábbi ábrán láthatók.
A lineáris egyenleteket alapvetően úgy lehet megoldani, hogy egyszerűen áthelyezzük a számrészt az egyik részbe, és az x tartalmát a másikba. Kiderül, hogy egy mx \u003d n alakú egyenlet, ahol m és n számok, x pedig ismeretlen. Az x megtalálásához elegendő mindkét részt elosztani m-rel. Ekkor x=n/m. Alapvetően a lineáris egyenleteknek csak egy gyöke van, de vannak esetek, amikor vagy végtelen sok gyök van, vagy nincs is. Ha m=0 és n=0, az egyenlet a következőképpen alakul: 0x=0. Egy ilyen egyenletre abszolút bármely szám megoldása lehet.
De melyik egyenletnek nincs gyökere?
Ha m=0 és n=0, az egyenletnek nincs gyökere a valós számok halmazából. 0x=-1; 0x=200 – ezeknek az egyenleteknek nincs gyökere.
2. másodfokú egyenlet
A másodfokú egyenlet ax2 + bx + c=0 alakú egyenlet, ha a=0. A másodfokú egyenlet legáltalánosabb megoldása a megoldás. a diszkrimináns révén. A másodfokú egyenlet diszkriminánsának megkeresésére szolgáló képlet: D=b2 - 4ac. Ezután két gyök van x1, 2=(-b ± √D) / 2a.
Ha D > 0, az egyenletnek két gyöke van, ha D=0 - egy gyöke. De melyik másodfokú egyenletnek nincs gyökere?A másodfokú egyenlet gyökeinek számát a legegyszerűbben egy függvény grafikonján lehet megfigyelni, amely egy parabola. A > 0-nál az ágak felfelé, a < 0-nál az ágak leengedve vannak. Ha a diszkrimináns negatív, egy ilyen másodfokú egyenletnek nincs gyökere a valós számok halmazában.
A gyökök számát vizuálisan is meghatározhatja a diszkrimináns kiszámítása nélkül. Ehhez meg kell találnia a parabola tetejét, és meg kell határoznia, hogy az ágak melyik irányba vannak irányítva. Egy csúcs x-koordinátáját a következő képlettel határozhatja meg: x0 =-b / 2a. Ebben az esetben a csúcs y-koordinátáját úgy találjuk meg, hogy egyszerűen behelyettesítjük az x0 értéket az eredeti egyenletbe.
Az x2 – 8x + 72=0 másodfokú egyenletnek nincs gyöke, mert negatív diszkriminánsa van D=(–8)2 - 4172=-224. Ez azt jelenti, hogy a parabola nem érinti az x tengelyt, és a függvény soha nem vesz fel 0 értéket, ezért az egyenletnek nincs valódi gyökere.
3. Trigonometrikus egyenletek
A trigonometrikus függvényeket trigonometrikus körön tekintjük, de ábrázolhatók derékszögű koordináta-rendszerben is. Ebben a cikkben két alapvető trigonometrikus függvényt és azok egyenleteit fogjuk megvizsgálni: a sinx-et és a cosx-et. Mivel ezek a függvények egy 1 sugarú trigonometrikus kört alkotnak, |sinx| és |cosx| nem lehet nagyobb 1-nél. Tehát melyik sinx egyenletnek nincs gyöke? Tekintsük a képen látható sinx függvény grafikonjátalább.
Látjuk, hogy a függvény szimmetrikus, és ismétlési periódusa 2pi. Ez alapján elmondhatjuk, hogy ennek a függvénynek a maximális értéke 1, a minimuma pedig -1 lehet. Például a cosx=5 kifejezésnek nem lesz gyöke, mivel modulja nagyobb egynél.
Ez a trigonometrikus egyenletek legegyszerűbb példája. Valójában a megoldásuk több old alt is igénybe vehet, aminek a végén rájössz, hogy rossz képletet használtál, és elölről kell kezdened. Néha még a gyökök helyes megtalálása esetén is elfelejtheti figyelembe venni az ODZ korlátozásait, ezért egy extra gyök vagy intervallum jelenik meg a válaszban, és az egész válasz hibássá válik. Ezért szigorúan tartson be minden korlátozást, mert nem minden gyökér fér bele a feladat körébe.
4. Egyenletrendszerek
Az egyenletrendszer göndör vagy szögletes zárójelekkel kombinált egyenletkészlet. A göndör kapcsos zárójelek az összes egyenlet együttes végrehajtását jelölik. Vagyis ha legalább az egyik egyenletnek nincs gyökere, vagy ellentmond a másiknak, akkor az egész rendszernek nincs megoldása. A szögletes zárójelek a „vagy” szót jelölik. Ez azt jelenti, hogy ha a rendszer legalább egyik egyenletének van megoldása, akkor az egész rendszernek van megoldása.
A szögletes zárójeles rendszer válasza az egyes egyenletek gyökeinek összessége. A göndör fogszabályzós rendszereknek pedig csak közös gyökerei vannak. Az egyenletrendszerek teljesen különböző függvényeket tartalmazhatnak, így ez a bonyolultság nem azlehetővé teszi, hogy azonnal megtudja, melyik egyenletnek nincs gyökere.
Általánosítás és tippek az egyenlet gyökereinek megtalálásához
A problémakönyvekben és a tankönyvekben különböző típusú egyenletek vannak: azok, amelyeknek van gyökere, és azok, amelyeknek nincsenek. Először is, ha nem talál gyökereket, ne gondolja, hogy egyáltalán nem léteznek. Lehet, hogy valahol hibát követett el, akkor egyszerűen ellenőrizze a megoldást.
Megtekintettük a legalapvetőbb egyenleteket és azok típusait. Most megtudhatja, hogy melyik egyenletnek nincs gyökere. A legtöbb esetben ezt egyáltalán nem nehéz megtenni. Az egyenletek megoldásának sikeréhez csak figyelem és koncentráció szükséges. Gyakoroljon többet, így sokkal jobban és gyorsabban eligazodhat az anyagban.
Tehát az egyenletnek nincs gyöke, ha:
- az mx=n lineáris egyenletben az m=0 és n=0;
- egy másodfokú egyenletben, ha a diszkrimináns kisebb, mint nulla;
- egy cosx=m / sinx=n alakú trigonometrikus egyenletben, ha |m| > 0, |n| > 0;
- egyenletrendszerben szögletes zárójelekkel, ha legalább egy egyenletnek nincs gyöke, és szögletes zárójellel, ha minden egyenletnek nincs gyöke.
