A matematikai tudományban gyakran számos nehézség és kérdés merül fel, és sok válasz nem mindig egyértelmű. Ez alól az olyan téma sem volt kivétel, mint a halmazok kardinalitása. Valójában ez nem más, mint az objektumok számának numerikus kifejezése. Általános értelemben a halmaz egy axióma, nincs definíciója. Bármilyen objektumon, vagy inkább halmazán alapul, amely lehet üres, véges vagy végtelen. Ezenkívül egész vagy természetes számokat, mátrixokat, sorozatokat, szakaszokat és vonalakat tartalmaz.
A meglévő változókról
A belső érték nélküli null vagy üres halmaz kardinális elemnek minősül, mert részhalmaz. Egy nem üres S halmaz összes részhalmazának gyűjteménye halmazok halmaza. Így egy adott halmaz hatványkészlete sok, elképzelhető, de egyetlen. Ezt a halmazt S hatványkészletének nevezzük, és P (S) jelöli. Ha S N elemet tartalmaz, akkor P(S) 2^n részhalmazt tartalmaz, mivel a P(S) egy részhalmaza vagy ∅, vagy egy részhalmaz, amely r elemet tartalmaz S-ből, r=1, 2, 3, … Minden végtelenből áll. Az M halmazt teljesítménymennyiségnek nevezzük, és szimbolikusan P (M) jelöli.
A halmazelmélet elemei
Ezt a tudásterületet George Cantor (1845-1918) fejlesztette ki. Ma a matematika szinte minden ágában használják, és alapvető részeként szolgál. A halmazelméletben az elemeket lista formájában ábrázolják, és típusokkal (üres halmaz, szingli, véges és végtelen halmazok, egyenlő és ekvivalens, univerzális), egyesülés, metszés, különbség és számok összeadása adják meg. A mindennapi életben gyakran beszélünk tárgyak gyűjteményéről, például kulcscsomóról, madárrajról, kártyacsomagról stb. A matematika 5. osztályában és azon túl vannak természetes, egész, prímszámok és összetett számok.
A következő készletek jöhetnek számításba:
- természetes számok;
- ábécé betűi;
- elsődleges esély;
- különböző oldalú háromszögek.
Látható, hogy ezek a megadott példák jól meghatározott objektumok halmazai. Vegyünk még néhány példát:
- a világ öt leghíresebb tudósa;
- hét gyönyörű lány a társadalomban;
- három legjobb sebész.
Ezek a kardinalitási példák nem pontosan meghatározott objektumok gyűjteményei, mert a "leghíresebb", "leggyönyörűbb", "legjobb" kritériumai személyenként változnak.
Szettek
Ez az érték különböző objektumok jól meghatározott száma. Feltéve, hogy:
- wordset egy szinonim, aggregátum, osztály és elemeket tartalmaz;
- tárgyak, a tagok egyenlő feltételek;
- a készleteket általában A, B, C nagybetűkkel jelöljük;
- halmazelemeket kis a, b, c betűk jelölnek.
Ha "a" az A halmaz egyik eleme, akkor azt mondják, hogy "a" A halmazhoz tartozik. Jelöljük a "tartozik" kifejezést a görög "∈" (epszilon) karakterrel. Így kiderül, hogy a ∈ A. Ha 'b' egy olyan elem, amely nem tartozik A-hoz, akkor ezt b ∉ A-ként ábrázoljuk. Az 5. osztályos matematikában használt fontos halmazokat a következő három módszerrel ábrázoljuk:
- alkalmazások;
- nyilvántartások vagy táblázatos;
- alakzat létrehozásának szabálya.
A jelentkezési lap alaposabb vizsgálatakor a következőkre épül. Ebben az esetben egyértelmű leírást adunk a halmaz elemeiről. Mindegyik göndör zárójelbe van zárva. Például:
- 7-nél kisebb páratlan számok halmaza – {7-nél kisebb}-ként írva;
- 30-nál nagyobb és 55-nél kisebb számok halmaza;
- olyan tanulók száma egy osztályban, akiknek súlya nagyobb, mint a tanáré.
A rendszerleíró adatbázis (táblázat) formában a halmaz elemei zárójelben {} vannak felsorolva, és vesszővel elválasztva. Például:
- Jelölje N az első öt természetes szám halmazát. Ezért N=→ regisztrációs űrlap
- Az angol ábécé összes magánhangzójának készlete. Ezért V={a, e, i, o, u, y} → regisztrációs űrlap
- A páratlan számok halmaza kisebb, mint 9. Ezért X={1, 3, 5, 7} → formregistry
- A "Matek" szó összes betűjének halmaza. Ezért Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → regisztrációs űrlap
- W az év utolsó négy hónapjának halmaza. Ezért W={szeptember, október, november, december} → registry.
A
Ne feledje, hogy az elemek felsorolásának sorrendje nem számít, de nem szabad ismétlődniük. Egy kialakult szerkesztési forma, adott esetben egy szabály, képlet vagy operátor zárójelpárba van írva, hogy a halmaz helyesen legyen definiálva. A halmazépítő űrlapon minden elemnek azonos tulajdonsággal kell rendelkeznie ahhoz, hogy a kérdéses érték tagjává váljon.
A halmazábrázolásnak ebben a formájában a halmaz egy elemét "x" karakterrel vagy bármely más változóval írják le, amelyet kettőspont követ (a ":" vagy a "|" jelzi). Például legyen P a 12-nél nagyobb megszámlálható számok halmaza. P a halmazépítő formában a következőképpen írható: - {megszámlálható szám és nagyobb, mint 12}. Egy bizonyos módon fog olvasni. Ez azt jelenti, hogy "P olyan x elem halmaza, amelyben x megszámlálható és nagyobb, mint 12."
Megoldott példa három halmazábrázolási módszerrel: egész számok száma -2 és 3 között. Az alábbiakban példákat találunk különböző típusú halmazokra:
- Üres vagy nulla halmaz, amely nem tartalmaz elemet, és ∅ szimbólummal van jelölve, és phiként olvasható. Lista formában a ∅ {} feliratú. A véges halmaz üres, mivel az elemek száma 0. Például az egész értékek halmaza kisebb, mint 0.
- Nyilvánvalóan nem kellene <0. Ezért ezüres készlet.
- A csak egy változót tartalmazó halmazt singleton halmaznak nevezzük. Se nem egyszerű, se nem összetett.
Véges halmaz
A bizonyos számú elemet tartalmazó halmazt véges vagy végtelen halmaznak nevezzük. Az üres az elsőre vonatkozik. Például a szivárvány összes színének halmaza.
A végtelen egy halmaz. A benne lévő elemek nem sorolhatók fel. Vagyis a hasonló változókat végtelen halmaznak nevezzük. Példák:
- a sík összes pontja halmazának hatványa;
- összes prímszám halmaza.
De meg kell értened, hogy egy halmaz egyesülésének minden kardinalitása nem fejezhető ki lista formájában. Például valós számok, mivel elemeik nem felelnek meg egyetlen mintának sem.
Egy halmaz kardinális száma az adott A mennyiségben lévő különböző elemek száma. Jelöljük n (A).
Például:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Ezért n (A)=4.
- B=betűkészlet az ALGEBRA szóban.
Egyenértékű készletek a készletek összehasonlításához
Egy A és B halmaz két kardinalitása ilyen, ha a kardinális száma megegyezik. Az egyenértékű halmaz szimbóluma "↔". Például: A ↔ B.
Egyenlő halmazok: az A és B halmazok két kardinalitása, ha ugyanazokat az elemeket tartalmazzák. Az A-ból származó minden együttható B-ből származó változó, és B mindegyike A meghatározott értéke. Ezért A=B. A kardinalitási uniók különböző típusait és definícióit a megadott példák segítségével magyarázzuk el.
A végesség és a végtelenség lényege
Mi a különbség a véges halmaz és a végtelen halmaz kardinalitása között?
Az első érték a következő nevet viseli, ha üres vagy véges számú elemet tartalmaz. Egy véges halmazban egy változó akkor adható meg, ha korlátozott a száma. Például az 1, 2, 3 természetes számot használva. És a listázási folyamat néhány N-nél ér véget. Az S véges halmazban megszámolt különböző elemek számát n (S) jelöli. Rendnek vagy bíborosnak is nevezik. Szimbolikusan a szabványelv szerint jelölve. Így, ha az S halmaz az orosz ábécé, akkor 33 elemet tartalmaz. Azt is fontos megjegyezni, hogy egy elem nem fordul elő többször egy halmazban.
Végtelen a készletben
Egy halmazt végtelennek nevezünk, ha az elemek nem sorolhatók fel. Ha van egy korlátlan (azaz megszámlálhatatlan) természetes szám 1, 2, 3, 4 bármely n-re. A nem véges halmazt végtelennek nevezzük. Most példákat tárgyalhatunk a vizsgált számértékekre. Végérték opciók:
- Legyen Q={25-nél kisebb természetes számok}. Ekkor Q véges halmaz és n (P)=24.
- Legyen R={5 és 45 közötti egész szám}. Ekkor R véges halmaz és n (R)=38.
- Legyen S={számok modulo 9}. Ekkor S={-9, 9} véges halmaz, és n (S)=2.
- Minden ember halmaza.
- Az összes madár száma.
Végtelen példa:
- lévõ pontok száma a síkon;
- a vonalszakasz összes pontjának száma;
- a 3-mal osztható pozitív egész számok halmaza végtelen;
- minden egész és természetes szám.
A fenti okfejtésből tehát világos, hogyan lehet megkülönböztetni a véges és a végtelen halmazokat.
A kontinuumkészlet teljesítménye
Ha összehasonlítjuk a halmazt és a többi meglévő értéket, akkor a halmazhoz egy kiegészítés kapcsolódik. Ha ξ univerzális, A pedig ξ részhalmaza, akkor A komplementere ξ azon elemeinek száma, amelyek nem elemei A-nak. Szimbolikusan A komplementere ξ-hez képest A'. Például 2, 4, 5, 6 a ξ egyetlen olyan eleme, amely nem tartozik A-hoz. Ezért A'={2, 4, 5, 6}
A kardinalitási kontinuummal rendelkező készlet a következő tulajdonságokkal rendelkezik:
- az univerzális mennyiség kiegészítése a szóban forgó üres érték;
- ez a nullhalmaz változó univerzális;
- összeg és kiegészítője diszjunkt.
Például:
- Legyen a természetes számok száma univerzális halmaz, A pedig páros. Ekkor A '{x: x egy páratlan halmaz azonos számjegyekkel}.
- Legyen ξ=betűkészlet az ábécében. A=mássalhangzók halmaza. Ezután A '=magánhangzók száma.
- Az univerzális halmaz kiegészítése az üres mennyiség. ξ-vel jelölhető. Ekkor ξ '=Azon elemek halmaza, amelyek nem szerepelnek ξ-ben. Az üres φ halmazt felírjuk és jelöljük. Ezért ξ=φ. Így az univerzális halmaz kiegészítése üres.
A matematikában a "kontinuumot" néha egy valós egyenes ábrázolására használják. És általánosabban, a hasonló objektumok leírásához:
- kontinuum (halmazelméletben) - valós vonal vagy a megfelelő kardinális szám;
- lineáris - bármely rendezett halmaz, amely megosztja egy valós sor bizonyos tulajdonságait;
- kontinuum (topológiában) - nem üres kompakt összekapcsolt metrikus tér (néha Hausdorff);
- az a hipotézis, hogy egyetlen végtelen halmaz sem nagyobb az egész számoknál, de kisebb a valós számoknál;
- a kontinuum hatványa egy kardinális szám, amely a valós számok halmazának méretét jelenti.
Lényegében kontinuum (mérés), elméletek vagy modellek, amelyek megmagyarázzák az egyik állapotból a másikba való fokozatos átmenetet minden hirtelen változás nélkül.
Egyesülési és metszésponti problémák
Ismert, hogy két vagy több halmaz metszéspontja az a szám, amely az összes olyan elemet tartalmazza, amelyek ezekben az értékekben közösek. A halmazokra vonatkozó szófeladatokat azért oldják meg, hogy alapvető ötleteket kapjanak a halmazok egyesülési és metszésponti tulajdonságainak használatáról. Megoldotta a szavak főbb problémáita készletek így néznek ki:
Legyen A és B két véges halmaz. Ezek olyanok, hogy n (A)=20, n (B)=28 és n (A ∪ B)=36, keresse meg n (A ∩ B)
Reláció halmazokban a Venn-diagram segítségével:
- Két halmaz egyesülése egy A ∪ B-t ábrázoló árnyékolt területtel ábrázolható. A ∪ B, ha A és B diszjunkt halmazok.
- Két halmaz metszéspontja Venn-diagrammal ábrázolható. Az A ∩ B-t jelző árnyékolt területtel.
- A két halmaz közötti különbség Venn-diagramokkal ábrázolható. Az A-B-t jelző árnyékolt területtel.
- Három halmaz közötti kapcsolat Venn-diagram segítségével. Ha ξ egy univerzális mennyiséget jelöl, akkor A, B, C három részhalmaz. Itt mindhárom halmaz átfedi egymást.
A készlet információinak összegzése
Egy halmaz kardinalitása a halmaz egyes elemeinek teljes száma. Az utolsó megadott érték pedig az összes részhalmaz számaként van leírva. Az ilyen kérdések tanulmányozásakor módszerekre, módszerekre és megoldásokra van szükség. Tehát egy halmaz kardinalitása szempontjából a következő példák szolgálhatnak:
Legyen A={0, 1, 2, 3}| |=4, ahol | A | az A halmaz számosságát jelenti.
Most megtalálja tápegységét. Ez is elég egyszerű. Mint már említettük, a hatványkészlet egy adott szám összes részhalmazából van beállítva. Tehát alapvetően meg kell határozni A minden változóját, elemét és egyéb értékét,amelyek a következők: {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Most állítsa be a P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}}, amely 16 elemből áll. Így az A halmaz számossága: 16. Nyilvánvalóan ez egy fárasztó és körülményes módszer a probléma megoldására. Van azonban egy egyszerű képlet, amellyel közvetlenül megtudhatja egy adott szám hatványkészletének elemeinek számát. | P |=2 ^ N, ahol N az A elemeinek száma. Ezt a képletet egyszerű kombinatorika segítségével kaphatjuk meg. Tehát a kérdés 2^11, mivel az A halmaz elemeinek száma 11.
Tehát a halmaz tetszőleges számszerűen kifejezett mennyiség, amely bármely lehetséges objektum lehet. Például autók, emberek, számok. Matematikai értelemben ez a fogalom tágabb és általánosabb. Ha a kezdeti szakaszban a számok és a megoldási lehetőségek rendeződnek, akkor a középső és magasabb szakaszokban a feltételek és a feladatok bonyolultak. Valójában egy halmaz egyesülésének számosságát az határozza meg, hogy a tárgy bármely csoporthoz tartozik-e. Vagyis egy elem egy osztályhoz tartozik, de egy vagy több változója van.
