Minden diák hallott már egy kerek kúpról, és elképzeli, hogyan néz ki ez a háromdimenziós figura. Ez a cikk meghatározza a kúp kialakulását, képleteket tartalmaz, amelyek leírják a jellemzőit, és leírja, hogyan kell megépíteni egy iránytű, szögmérő és egyenes él segítségével.
Körkúp a geometriában
Adjunk geometriai definíciót ennek az alaknak. A kerek kúp olyan felület, amelyet egyenes szakaszok alkotnak, amelyek egy bizonyos kör minden pontját egyetlen térbeli ponttal kötik össze. Ez az egyetlen pont nem tartozhat ahhoz a síkhoz, amelyben a kör található. Ha kör helyett kört veszünk, akkor ez a módszer is kúphoz vezet.
A kört az ábra alapjának nevezzük, kerülete az irányvonal. A pontot a direktrixszel összekötő szakaszokat generatricáknak vagy generátoroknak nevezzük, és a metszéspont a kúp csúcsa.
A kerek kúp lehet egyenes és ferde. Mindkét ábra az alábbi ábrán látható.
A különbség köztük a következő: ha a kúp tetejétől a merőleges pontosan a kör közepére esik, akkor a kúp egyenes lesz. Számára a merőleges, amelyet az ábra magasságának neveznek, a tengelyének része. Ferde kúp esetén a magasság és a tengely hegyesszöget alkot.
Az ábra egyszerűsége és szimmetriája miatt a továbbiakban csak egy kerek alappal rendelkező derékszögű kúp tulajdonságait vesszük figyelembe.
Alak létrehozása elforgatással
Mielőtt megvizsgálnánk a kúp felületének alakulását, hasznos tudni, hogy ez a térbeli alakzat hogyan érhető el elforgatással.
Tegyük fel, hogy van egy derékszögű háromszögünk, amelynek oldalai a, b, c. Közülük az első kettő láb, c a hypotenus. Tegyünk egy háromszöget az a lábra, és kezdjük el forgatni a b láb körül. A c hipotenusz ezután egy kúpos felületet ír le. Ezt az egyszerű kúpos technikát az alábbi diagram mutatja.
Nyilvánvalóan az a láb az ábra alapjának sugara, a b láb a magassága, a c hipotenuzus pedig egy kerek jobb oldali kúp generatrixának felel meg.
Kilátás a kúp fejlődéséről
Ahogy sejtheti, a kúpot kétféle felület alkotja. Az egyik egy lapos alapkör. Tegyük fel, hogy r sugara van. A második felület oldalsó, és kúposnak nevezik. Legyen a generátora egyenlő g-vel.
Ha van papírkúpunk, akkor ollót vehetünk és levághatjuk róla az alapot. Ezután a kúpos felületet le kell vágnibármely generatrix mentén, és telepítse a síkra. Ily módon a kúp oldalfelületének fejlődését kaptuk. A két felület az eredeti kúppal együtt az alábbi ábrán látható.
Az alapkör a jobb alsó sarokban látható. Középen a kibontott kúpos felület látható. Kiderül, hogy a kör valamely körszektorának felel meg, amelynek sugara megegyezik a g generatrix hosszával.
Szög- és területsöprés
Most olyan képleteket kapunk, amelyek az ismert g és r paraméterek felhasználásával lehetővé teszik a kúp területének és szögének kiszámítását.
Nyilvánvalóan a fenti ábrán látható körszektor ívének hossza megegyezik az alap kerületével, azaz:
l=2pir.
Ha a teljes g sugarú kört megépítenénk, akkor a hossza:
L=2pig.
Mivel az L hossz 2pi radiánnak felel meg, így az l ív szöge a megfelelő arányból meghatározható:
L==>2pi;
l==> φ.
Akkor az ismeretlen φ szög egyenlő lesz:
φ=2pil/L.
Az l és L hossz kifejezéseit behelyettesítve megkapjuk a kúp oldalfelületének fejlődési szögének képletét:
φ=2pir/g.
A φ szög itt radiánban van kifejezve.
Egy körszektor Sbterületének meghatározásához a φ talált értékét használjuk. Még egy arányt készítünk, csak a területekre. Nálunk:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Honnan kell kifejezni az Sb, majd helyettesítse be a φ szög értékét. Ezt kapjuk:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
A kúpos felület területén egy meglehetősen kompakt képletet kaptunk. Az Sb értéke három tényező szorzatával egyenlő: pi, az ábra sugara és generátora.
Ekkor az ábra teljes felületének területe egyenlő lesz Sb és So összegével (kör alakú alapterület). A következő képletet kapjuk:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Kúp készítése papíron
A feladat elvégzéséhez szüksége lesz egy darab papírra, egy ceruzára, egy szögmérőre, egy vonalzóra és egy iránytűre.
Először is rajzoljunk egy 3 cm, 4 cm és 5 cm oldalú derékszögű háromszöget, melynek 3 cm-es elforgatása a láb körül adja a kívánt kúpot. Az ábra r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm.
A sweep felépítése egy r sugarú kör körzővel történő megrajzolásával kezdődik. A hossza 6pi cm lesz. Most mellé rajzolunk egy másik kört, de g sugarú. A hossza 10pi cm. Most le kell vágnunk egy kör alakú szektort egy nagy körből. A φ szöge:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Most ezt a szöget félretesszük egy szögmérővel egy g sugarú körön, és rajzoljunk két sugarat, amelyek korlátozzák a körszektort.
SzóvalÍgy elkészítettük a kúp fejlesztését a megadott sugár, magasság és generatrix paraméterekkel.
Példa geometriai probléma megoldására
Adott egy kerek egyenes kúp. Ismeretes, hogy oldalirányú söprésének szöge 120o. Meg kell találni ennek az ábrának a sugarát és generatrixát, ha tudjuk, hogy a kúp h magassága 10 cm.
A feladat nem nehéz, ha emlékezünk arra, hogy a kerek kúp egy derékszögű háromszög forgási alakja. Ebből a háromszögből egyértelmű kapcsolat következik a magasság, a sugár és a generatrix között. Írjuk fel a megfelelő képletet:
g2=h2+ r2.
A megoldás során használt második kifejezés a φ:
szög képlete
φ=2pir/g.
Így van két egyenletünk két ismeretlen mennyiségre (r és g).
Kifejezzen g-t a második képletből, és helyettesítse az eredményt az elsővel, a következőt kapjuk:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
A φ szög=120o radiánban 2pi/3. Ezt az értéket behelyettesítve megkapjuk r és g végső képleteit:
r=h /√8;
g=3ó /√8.
Marad a magasságérték behelyettesítése és a probléma megválaszolása: r ≈ 3,54 cm, g ≈ 10,61 cm.
