A tetraéder görögül azt jelenti, hogy "tetraéder". Ennek a geometriai alakzatnak négy lapja, négy csúcsa és hat éle van. Az élek háromszögek. Alapvetően a tetraéder egy háromszög alakú piramis. A poliéderek első említése jóval Platón létezése előtt jelent meg.
Ma a tetraéder elemeiről és tulajdonságairól fogunk beszélni, valamint megtanuljuk a képleteket ezen elemek területének, térfogatának és egyéb paramétereinek meghatározásához.
A tetraéder elemei
A tetraéder bármely csúcsából felszabaduló és a szemközti lap mediánjainak metszéspontjára süllyesztett szakaszt mediánnak nevezzük.
A sokszög magassága egy normál szegmens, amely a szemközti csúcsból esik.
A bimedián egy szegmens, amely a keresztező élek középpontját köti össze.
Tetraéder tulajdonságai
1) A két ferde élen átmenő párhuzamos síkok egy körülírt dobozt alkotnak.
2) A tetraéder megkülönböztető tulajdonsága azaz ábra mediánja és bimediánja ugyanabban a pontban találkozik. Fontos, hogy ez utóbbi a mediánokat 3:1 arányban, a bimediánokat pedig felére osztja.
3) Egy sík két egyenlő térfogatú részre osztja a tetraédert, ha átmegy két keresztező él közepén.
Tetraéder típusai
Az ábra fajdiverzitása meglehetősen széles. A tetraéder lehet:
- helyes, azaz egy egyenlő oldalú háromszög alján;
- egyéderes, amelyben minden lap egyforma hosszú;
- ortocentrikus, ha a magasságoknak közös metszéspontjuk van;
- téglalap alakú, ha a felső lapos sarkok normálisak;
- arányos, minden bi magasság egyenlő;
- huzalkeret, ha van olyan gömb, amely érinti az éleket;
- incentrikus, vagyis a szemközti lap beírt körének csúcsából a középpontba ejtett szakaszoknak közös metszéspontjuk van; ezt a pontot a tetraéder súlypontjának nevezik.
Maradjunk csak a szabályos tetraédernél, melynek tulajdonságai gyakorlatilag megegyeznek.
A név alapján megértheti, hogy azért hívják így, mert a lapok szabályos háromszögek. Ennek az ábrának az összes éle egybevágó hosszúságú, és az arcok területe egybevágó. A szabályos tetraéder az öt hasonló poliéder egyike.
Tetraéder képletek
Egy tetraéder magassága egyenlő a 2/3 gyökének és az él hosszának szorzatával.
A tetraéder térfogatát ugyanúgy megtaláljuk, mint a piramisét: 2 négyzetgyökét elosztjuk 12-vel, és megszorozzuk a kocka élének hosszával.
A körök területének és sugarainak kiszámítására szolgáló többi képlet fent található.
