A henger egyike azon egyszerű háromdimenziós figuráknak, amelyeket az iskolai geometria kurzusban tanulnak (metszet szilárd geometria). Ebben az esetben gyakran adódnak problémák a henger térfogatának és tömegének kiszámításakor, valamint felületének meghatározásában. A megjelölt kérdésekre ebben a cikkben adunk választ.
Mi az a henger?
Mielőtt arra a kérdésre válaszolnánk, hogy mekkora a henger tömege és térfogata, érdemes átgondolni, hogy mi is ez a térbeli alak. Rögtön meg kell jegyezni, hogy a henger egy háromdimenziós tárgy. Ez azt jelenti, hogy térben három paramétert mérhet a derékszögű derékszögű koordinátarendszer tengelyei mentén. Valójában egy henger méreteinek egyértelmű meghatározásához elegendő csak két paraméterét ismerni.
A henger egy háromdimenziós alak, amelyet két kör és egy hengeres felület alkot. Ennek az objektumnak a pontosabb ábrázolásához elegendő egy téglalapot venni, és elkezdeni forgatni bármelyik oldala körül, amely a forgástengely lesz. Ebben az esetben a forgó téglalap írja le az alakzatotforgás - henger.
Két kerek felületet nevezünk a henger alapjainak, ezeket egy bizonyos sugár jellemzi. Az alapok közötti távolságot magasságnak nevezzük. A két alapot egy hengeres felület köti össze. A mindkét kör középpontján átmenő egyenest a henger tengelyének nevezzük.
Térfogat és felület
Amint az a fentiekből látható, a hengert két paraméter határozza meg: a h magasság és az alapjának r sugara. Ezen paraméterek ismeretében a vizsgált test összes többi jellemzője kiszámítható. Alább láthatók a főbbek:
- A bázisok területe. Ezt az értéket a következő képlet számítja ki: S1=2pir2, ahol pi=pi egyenlő 3, 14. 2. számjegy képletben azért jelenik meg, mert a hengernek két azonos alapja van.
- Hengeres felület. A következőképpen számolható: S2=2pirh. Könnyű megérteni ezt a képletet: ha egy hengeres felületet függőlegesen az egyik alapról a másikra vágunk és kiterjesztjük, akkor egy téglalapot kapunk, amelynek magassága megegyezik a henger magasságával, és a szélessége megegyezik a henger magasságával. a háromdimenziós ábra alapjának kerülete. Mivel a kapott téglalap területe a h-val és 2pir-rel egyenlő oldalainak szorzata, a fenti képletet kapjuk.
- A henger felülete. Ez egyenlő az S1 és S2 területének összegével, így kapjuk: S3=S 1 + S2=2pir2 + 2pir h=2pi r(r+h).
- Hangerő. Ezt az értéket könnyű megtalálni, csak meg kell szorozni egy alap területét az ábra magasságával: V=(S1/2)h=pir 2 h.
A henger tömegének meghatározása
Végül érdemes közvetlenül a cikk témájára térni. Hogyan határozzuk meg a henger tömegét? Ehhez ismernie kell a térfogatát, a számítási képletet, amelyet fent bemutattunk. És annak az anyagnak a sűrűsége, amelyből áll. A tömeget egy egyszerű képlet határozza meg: m=ρV, ahol ρ a kérdéses tárgyat alkotó anyag sűrűsége.
A sűrűség fogalma egy egységnyi tértérfogatban lévő anyag tömegét jellemzi. Például. Ismeretes, hogy a vas sűrűsége nagyobb, mint a fa. Ez azt jelenti, hogy azonos térfogatú vas- és faanyag esetén az előbbi sokkal nagyobb tömegű lesz, mint az utóbbi (körülbelül 16-szoros).
Rézhenger tömegének kiszámítása
Vegyünk egy egyszerű problémát. Meg kell találni egy rézből készült henger tömegét. A határozottság kedvéért legyen a henger átmérője 20 cm és magassága 10 cm.
A probléma megoldásának megkezdése előtt foglalkozzon a forrásadatokkal. A henger sugara megegyezik az átmérő felével, ami r=20/2=10 cm, magassága pedig h=10 cm Mivel a feladatban vizsgált henger rézből készült, ezért hivatkozva a referencia adatok, kiírjuk ennek az anyagnak a sűrűségértékét: ρ=8, 96 g/cm3 (20 °C hőmérséklet esetén).
Most megkezdheti a probléma megoldását. Először is számítsuk ki a térfogatot: V=pir2h=3, 14(10)210=3140 cm3. Ekkor a henger tömege: m=ρV=8,963140=28134 gramm vagy körülbelül 28 kilogramm.
A megfelelő képletekben történő használat során ügyeljen az egységek méretére. Tehát a feladatban minden paraméter centiméterben és grammban volt megadva.
Hogén és üreges hengerek
A fent kapott eredményből látható, hogy egy viszonylag kis méretű (10 cm) rézhenger tömege nagy (28 kg). Ez nem csak annak köszönhető, hogy nehéz anyagból készült, hanem annak is, hogy homogén. Ezt a tényt fontos megérteni, mivel a fenti tömegszámítási képlet csak akkor használható, ha a henger teljesen (külsőleg és belül) ugyanabból az anyagból készült, azaz homogén.
A gyakorlatban gyakran használnak üreges hengereket (például hengeres hordókat vízhez). Vagyis valamilyen anyagból készült vékony lapokból, de belül üresek. Üreges henger esetén a tömeg kiszámításához megadott képlet nem használható.
Üreges henger tömegének kiszámítása
Érdekes kiszámolni, hogy mekkora tömege lesz egy rézhengernek, ha belül üres. Például legyen vékony rézlemezből, amelynek vastagsága mindössze d=2 mm.
A probléma megoldásához meg kell találnia magának a réznek a térfogatát, amelyből a tárgy készül. Nem a henger térfogata. Mert a vastagsága lap kicsi a henger méreteihez képest (d=2 mm és r=10 cm), akkor az a réz térfogata, amelyből a tárgy készül, a henger teljes felületének megszorozva A rézlemez vastagságát kapjuk: V=dS 3=d2pir(r+h). Az előző feladat adatait behelyettesítve a következőt kapjuk: V=0,223, 1410(10+10)=251,2 cm3. Az üreges henger tömegét úgy kaphatjuk meg, hogy a gyártásához szükséges réz térfogatát megszorozzuk a réz sűrűségével: m \u003d 251,28,96 \u003d 2251 g vagy 2,3 kg. Vagyis a vizsgált üreges henger tömege 12-szer (28, 1/2, 3)-szor kisebb, mint egy homogéné.
