Minden hullám egyik jellemző tulajdonsága, hogy képes elhajolni az akadályokra, amelyek mérete összemérhető ennek a hullámnak a hullámhosszával. Ezt a tulajdonságot használják az úgynevezett diffrakciós rácsokban. Hogy mik ezek, és hogyan használhatók fel a különböző anyagok emissziós és abszorpciós spektrumainak elemzésére, arról a cikkben szó lesz.
Diffrakciós jelenség
Ez a jelenség abban áll, hogy megváltoztatja a hullám egyenes vonalú terjedésének pályáját, amikor akadály jelenik meg az útjában. A fénytöréstől és a visszaverődéstől eltérően a diffrakció csak nagyon kis akadályoknál észlelhető, amelyek geometriai méretei egy hullámhossz nagyságrendűek. Kétféle diffrakció létezik:
- hullám hajlítása egy tárgy körül, ha a hullámhossz sokkal nagyobb, mint az objektum mérete;
- hullám szórása különböző geometriai alakú lyukakon való áthaladáskor, ha a lyukak mérete kisebb, mint a hullámhossz.
A diffrakció jelensége a hangra, a tengerre és az elektromágneses hullámokra jellemző. A cikk további részében csak a fény diffrakciós rácsát fogjuk megvizsgálni.
Interferenciajelenség
A különböző akadályokon (kerek lyukak, rések és rácsok) megjelenő diffrakciós minták nem csak a diffrakció, hanem az interferencia eredménye is. Ez utóbbi lényege a hullámok egymásra való szuperpozíciója, amelyeket különböző források bocsátanak ki. Ha ezek a források hullámokat sugároznak, miközben fenntartják közöttük a fáziskülönbséget (a koherencia tulajdonságát), akkor időben stabil interferenciamintázat figyelhető meg.
A maximumok (világos területek) és minimumok (sötét zónák) helyzetét a következőképpen magyarázzuk meg: ha két hullám érkezik egy adott pontra ellenfázisban (az egyik maximális, a másik minimális abszolút amplitúdóval), akkor "elpusztítják" egymást, és a ponton megfigyelhető a minimum. Ellenkezőleg, ha két hullám ugyanabban a fázisban érkezik egy ponthoz, akkor (maximum) erősítik egymást.
Mindkét jelenséget először az angol Thomas Young írta le 1801-ben, amikor két résnyi diffrakciót tanulmányozott. Az olasz Grimaldi azonban először 1648-ban figyelte meg ezt a jelenséget, amikor egy kis lyukon áthaladó napfény diffrakciós mintázatát tanulmányozta. Grimaldi nem tudta megmagyarázni kísérletei eredményeit.
A diffrakció tanulmányozására használt matematikai módszer
Ezt a módszert Huygens-Fresnel elvnek nevezik. Abból az állításból áll, hogy a folyamatbana hullámfront terjedése, minden pontja másodlagos hullámok forrása, amelyek interferenciája határozza meg az eredő rezgést egy tetszőleges vizsgált pontban.
A leírt elvet Augustin Fresnel dolgozta ki a 19. század első felében. Fresnel ugyanakkor Christian Huygens hullámelméletének gondolataiból indult ki.
Bár a Huygens-Fresnel-elv elméletileg nem szigorú, sikeresen alkalmazták diffrakcióval és interferenciával végzett kísérletek matematikai leírására.
Diffrakció a közeli és távoli mezőben
A diffrakció meglehetősen összetett jelenség, amelynek pontos matematikai megoldásához Maxwell elektromágneses elméletének figyelembe vétele szükséges. Ezért a gyakorlatban ennek a jelenségnek csak speciális eseteit veszik figyelembe, különféle közelítésekkel. Ha az akadályra beeső hullámfront lapos, akkor a diffrakciónak két típusát különböztetjük meg:
- közeli mezőben, vagy Fresnel-diffrakció;
- a távoli mezőben, vagy Fraunhofer diffrakció.
A „távol és közeli mező” szavak azt a távolságot jelentik a képernyőtől, amelyen a diffrakciós mintát megfigyeljük.
A Fraunhofer és a Fresnel-diffrakció közötti átmenet megbecsülhető a Fresnel-szám kiszámításával egy adott esetre. Ennek a számnak a meghatározása a következő:
F=a2/(Dλ).
Itt λ a fény hullámhossza, D a képernyő távolsága, a pedig annak az objektumnak a mérete, amelyen diffrakció lép fel.
Ha F<1, akkor fontolja megmár közelmezős közelítések.
Sok gyakorlati esetet, köztük a diffrakciós rács használatát is figyelembe veszik a távoli mező közelítésénél.
A rács fogalma, amelyen a hullámok diffrakciót mutatnak
Ez a rács egy kis lapos objektum, amelyen valamilyen módon periodikus struktúrákat, például csíkokat vagy barázdákat alkalmaznak. Egy ilyen rács fontos paramétere az egységnyi hosszonkénti csíkok száma (általában 1 mm). Ezt a paramétert rácsállandónak nevezzük. A továbbiakban N szimbólummal jelöljük. N reciprokja határozza meg a szomszédos csíkok közötti távolságot. Jelöljük d betűvel, majd:
d=1/N.
Amikor egy síkhullám egy ilyen rácsra esik, időszakos zavarokat tapasztal. Ez utóbbiak egy bizonyos kép formájában jelennek meg a képernyőn, ami hulláminterferencia eredménye.
Rácstípusok
Két típusú diffrakciós rács létezik:
- áthaladó, vagy átlátszó;
- fényvisszaverő.
Az elsők úgy készülnek, hogy átlátszatlan vonásokat alkalmaznak az üvegen. Laboratóriumokban ilyen lemezekkel dolgoznak, spektroszkópokban használják.
A második típus, vagyis a fényvisszaverő rácsok úgy készülnek, hogy időszakos barázdákat helyeznek a polírozott anyagra. Egy ilyen rács mindennapos példája a műanyag CD- vagy DVD-lemez.
Rácsegyenlet
Figyelembe véve a Fraunhofer-diffrakciót egy rácson, a következő kifejezés írható fel a fényintenzitásra a diffrakciós mintában:
I(θ)=I0(sin(β)/β)2[sin(Nα) /sin(α)]2, ahol
α=pid/λ(sin(θ)-sin(θ0));
β=pia/λ(sin(θ)-sin(θ0)).
Az a paraméter egy slot szélessége, a d paraméter pedig a köztük lévő távolság. Az I(θ) kifejezés egyik fontos jellemzője a θ szög. Ez a szög a rácssíkra mért középső merőleges és a diffrakciós minta egy meghatározott pontja között. A kísérletekben goniométerrel mérik.
A bemutatott képletben a zárójelben lévő kifejezés az egyik réstől való diffrakciót határozza meg, a szögletes zárójelben lévő kifejezés pedig hulláminterferencia eredménye. Az interferenciamaximumok feltételére elemezve a következő képlethez juthatunk:
sin(θm)-sin(θ0)=mλ/d.
A θ0 szög a rácsra beeső hullámot jellemzi. Ha a hullámfront párhuzamos vele, akkor θ0=0, és az utolsó kifejezés a következő lesz:
sin(θm)=mλ/d.
Ezt a képletet diffrakciós rács egyenletnek nevezik. Az m értéke tetszőleges egész számot vesz fel, beleértve a negatívokat és a nullát is, ezt diffrakciós sorrendnek nevezzük.
Rácsegyenlet-elemzés
Az előző bekezdésben megtudtukhogy a fő maximumok helyzetét a következő egyenlet írja le:
sin(θm)=mλ/d.
Hogyan lehet ezt a gyakorlatba átültetni? Főleg akkor használják, ha a diffrakciós rácsra d periódusú fényt egyedi színekre bontják. Minél hosszabb a λ hullámhossz, annál nagyobb lesz a szögtávolság a neki megfelelő maximumhoz. Az egyes hullámokhoz tartozó megfelelő θm mérése lehetővé teszi annak hosszának kiszámítását, és ezáltal a sugárzó objektum teljes spektrumának meghatározását. Összehasonlítva ezt a spektrumot egy ismert adatbázis adataival, meg tudjuk mondani, mely kémiai elemek bocsátották ki.
A fenti eljárást spektrométerekben használják.
Rácsfelbontás
Ez alatt érthető egy ilyen különbség két hullámhossz között, amelyek a diffrakciós mintázatban külön vonalként jelennek meg. A helyzet az, hogy minden vonalnak van egy bizonyos vastagsága, amikor két λ és λ + Δλ közeli értékű hullám diffradik, akkor a képen a nekik megfelelő vonalak egyesülhetnek. Az utóbbi esetben a rácsfelbontás kisebb, mint Δλ.
A rácsfelbontás képletének levezetésére vonatkozó érveket elhagyva bemutatjuk a végső formáját:
Δλ>λ/(mN).
Ez a kis képlet arra enged következtetni: egy rács segítségével a közelebbi hullámhosszakat (Δλ) elválaszthatja, minél hosszabb a fény hullámhossza λ, annál nagyobb a löketek száma egységnyi hosszonként(N rácsállandó), és minél nagyobb a diffrakciós nagyságrend. Maradjunk az utolsónál.
Ha megnézzük a diffrakciós mintát, akkor m növekedésével valóban nő a szomszédos hullámhosszok közötti távolság. A nagy diffrakciós sorrendek használatához azonban szükséges, hogy a rajtuk lévő fényintenzitás elegendő legyen a mérésekhez. Hagyományos diffrakciós rácson m növekedésével gyorsan leesik. Ezért ezekre a célokra speciális rácsokat használnak, amelyeket úgy készítenek, hogy a fényintenzitást a nagy m javára újra elosztják. Általában ezek fényvisszaverő rácsok, amelyek diffrakciós mintázata nagy θ0.
Ezután fontolja meg a rácsegyenlet használatát több probléma megoldására.
Feladatok a diffrakciós szögek, a diffrakciós sorrend és a rácsállandó meghatározásához
Vegyünk példákat több probléma megoldására:
A diffrakciós rács periódusának meghatározásához a következő kísérletet végezzük: monokromatikus fényforrást veszünk, amelynek a hullámhossza ismert érték. A lencsék segítségével párhuzamos hullámfront alakul ki, vagyis a Fraunhofer diffrakció feltételei. Ezután ez a front egy diffrakciós rácsra irányul, amelynek periódusa ismeretlen. Az így kapott képen a különböző sorrendek szögeit goniométerrel mérjük. Ezután a képlet kiszámítja az ismeretlen periódus értékét. Végezzük el ezt a számítást egy konkrét példán
Legyen a fény hullámhossza 500 nm, és a diffrakció első rendjének szöge 21o. Ezen adatok alapján meg kell határozni a diffrakciós rács periódusát d.
A rácsegyenlet használatával fejezze ki a d kifejezést, és illessze be az adatokat:
d=mλ/sin(θm)=150010-9/sin(21 o) ≈ 1,4 µm.
Akkor az N rácsállandó:
N=1/d ≈ 714 sor 1 mm-enként.
A fény általában egy 5 mikronos periódusú diffrakciós rácsra esik. Tudva, hogy a hullámhossz λ=600 nm, meg kell találni azokat a szögeket, amelyeknél az első és a másodrendű maximumok megjelennek
Az első maximumért ezt kapjuk:
sin(θ1)=λ/d=>θ1=arcsin(λ/d) ≈ 6, 9 o.
A második maximum jelenik meg a θ2:
szögnél
θ2=arcsin(2λ/d) ≈ 13, 9o.
A monokromatikus fény 2 mikronos periódusú diffrakciós rácsra esik. Hullámhossza 550 nm. Meg kell találni, hogy hány diffrakciós sorrend jelenik meg a kapott képen a képernyőn
Ez a fajta probléma a következőképpen oldható meg: először is meg kell határozni a θm szög függését a diffrakciós sorrendtől a feladat feltételeinek megfelelően. Ezt követően figyelembe kell venni, hogy a szinuszfüggvény nem vehet fel egynél nagyobb értékeket. Az utolsó tény lehetővé teszi számunkra, hogy választ adjunk erre a problémára. Végezzük el a leírt műveleteket:
sin(θm)=mλ/d=0, 275m.
Ez az egyenlőség azt mutatja, hogy ha m=4, akkor a jobb oldali kifejezés egyenlő lesz 1-gyel,1, m=3 esetén pedig 0,825. Ez azt jelenti, hogy egy 2 μm periódusú diffrakciós rácsot használva 550 nm-es hullámhosszon a diffrakció maximális 3. rendje érhető el.
A rács felbontásának kiszámításának problémája
Tegyük fel, hogy a kísérlethez 10 mikron periódusú diffrakciós rácsot fognak használni. Ki kell számolni, hogy a λ=580 nm közelében lévő hullámok mekkora minimális hullámhosszal térhetnek el egymástól úgy, hogy külön maximumként jelenjenek meg a képernyőn.
A kérdésre adott válasz a vizsgált rács felbontásának meghatározásához kapcsolódik egy adott hullámhosszon. Tehát két hullám különbözhet Δλ>λ/(mN). Mivel a rácsállandó fordítottan arányos a d periódussal, ez a kifejezés a következőképpen írható fel:
Δλ>λd/m.
Most a λ=580 nm hullámhosszra felírjuk a rácsegyenletet:
sin(θm)=mλ/d=0, 058m.
Ahol azt kapjuk, hogy m maximális sorrendje 17 lesz. Ha ezt a számot behelyettesítjük a Δλ képletébe, a következőt kapjuk:
Δλ>58010-91010-6/17=3, 410- 13 vagy 0,00034 nm.
Nagyon nagy felbontást kaptunk, ha a diffrakciós rács periódusa 10 mikron. A gyakorlatban ez általában nem érhető el a nagy diffrakciós rendek maximumainak alacsony intenzitása miatt.
