A térbeli alakzatok térfogatának meghatározásának képessége fontos geometriai és gyakorlati feladatok megoldásához. Az egyik ilyen alak egy prizma. A cikkben megvizsgáljuk, mi ez, és megmutatjuk, hogyan kell kiszámítani egy ferde prizma térfogatát.
Mit jelent a prizma a geometriában?
Ez egy szabályos poliéder (poliéder), amelyet két azonos, párhuzamos síkban elhelyezkedő alap, valamint a megjelölt alapokat összekötő több paralelogramma alkot.
A prizma alapjai tetszőleges sokszögek lehetnek, például háromszög, négyszög, hétszög stb. Ezenkívül a sokszög sarkainak (oldalainak) száma határozza meg az ábra nevét.
Minden n-szögű alappal rendelkező prizma (n az oldalak száma) n+2 lapból, 2 × n csúcsból és 3 × n élből áll. A megadott számokból látható, hogy a prizma elemeinek száma megfelel az Euler-tételnek:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
Az alábbi képen látható, hogyan néznek ki az üvegből készült három- és négyszögletű prizmák.
Alaktípusok. Döntött prizma
Fentebb már említettük, hogy a prizma nevét a sokszög alapjában lévő oldalak száma határozza meg. Felépítésében azonban vannak más jellemzők is, amelyek meghatározzák az ábra tulajdonságait. Tehát, ha a prizma oldalfelületét alkotó összes paralelogrammát téglalapok vagy négyzetek ábrázolják, akkor egy ilyen ábrát egyenesnek nevezünk. Egyenes prizma esetén az alapok közötti távolság megegyezik bármely téglalap oldalélének hosszával.
Ha az oldalak egy része vagy mindegyik paralelogramma, akkor ferde prizmáról beszélünk. A magassága már kisebb lesz, mint az oldalborda hossza.
A figyelembe vett ábrák osztályozásának másik kritériuma az oldalak hossza és a sokszög alapnál bezárt szögei. Ha egyenlőek egymással, akkor a sokszög helyes lesz. Szabályosnak nevezzük azt az egyenes alakot, amelynek alapjaiban szabályos sokszög található. Kényelmes vele dolgozni a felület és a térfogat meghatározásakor. A ferde prizma ebben a tekintetben nehézségeket okoz.
Az alábbi ábrán két prizma látható négyzet alakú alappal. A 90°-os szög mutatja az alapvető különbséget az egyenes és a ferde prizma között.
Képlet egy ábra térfogatának meghatározásához
A térnek egy prizma lapjai által határolt részét térfogatának nevezzük. Bármilyen típusú figyelembe vett számadatok esetén ez az érték a következő képlettel határozható meg:
V=h × So
Itt a h szimbólum a prizma magasságát jelöli,amely két bázis távolságának mértéke. Szimbólum So- egy alapnégyzet.
Az alapterület könnyen megtalálható. Tekintettel arra, hogy a sokszög szabályos-e vagy sem, és ismerve oldalainak számát, alkalmazza a megfelelő képletet, és kapja meg az So-t. Például egy a oldalhosszúságú szabályos n-szögnél a terület a következő lesz:
S=n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
Most menjünk tovább a h magasságra. Egyenes prizmánál a magasság meghatározása nem nehéz, de egy ferde prizmánál ez nem egyszerű feladat. Különféle geometriai módszerekkel megoldható, konkrét kezdeti feltételekből kiindulva. Van azonban egy univerzális módszer a figura magasságának meghatározására. Ismertesse röviden.
Az ötlet az, hogy megtaláljuk a távolságot a tér egy pontja és a sík között. Tegyük fel, hogy a síkot a következő egyenlet adja:
A × x+ B × y + C × z + D=0
Akkor a gép távol lesz:
h=|A × x1 + B × y1+ C × z1 +D| / √ (A2 + B2+ C2)
Ha a koordinátatengelyek úgy vannak elrendezve, hogy a pont (0; 0; 0) a prizma alsó bázisának síkjában legyen, akkor az alapsíkra vonatkozó egyenlet a következőképpen írható fel:
z=0
Ez azt jelenti, hogy a magasság képlete meg lesz írvaszóval:
h=z1
Az ábra magasságának meghatározásához elegendő megtalálni a felső alap bármely pontjának z-koordinátáját.
Példa problémamegoldásra
Az alábbi ábra egy négyszög alakú prizmát mutat. A ferde prizma alapja egy 10 cm oldalhosszúságú négyzet, amelynek térfogatát akkor kell kiszámítani, ha tudjuk, hogy az oldalél hossza 15 cm, a frontális paralelogramma hegyesszöge pedig 70 °.
Mivel az ábra h magassága egyben a paralelogramma magassága is, képletekkel határozzuk meg a területét a h megtalálásához. Jelöljük a paralelogramma oldalait a következőképpen:
a=10 cm;
b=15 cm
Ezután a következő képleteket írhatja rá a terület meghatározásához Sp:
Sp=a × b × sin (α);
Sp=a × h
Ahonnan:
h=b × sin (α)
Itt α a paralelogramma hegyesszöge. Mivel az alap négyzet, a ferde prizma térfogatának képlete a következő lesz:
V=a2 × b × sin (α)
A feltétel adatait behelyettesítjük a képletbe, és megkapjuk a választ: V ≈ 1410 cm3.
