Ebben a cikkben a módszert a lineáris egyenletrendszerek (SLAE) megoldására szolgáló módszernek tekintjük. A módszer analitikus, azaz lehetővé teszi egy általános megoldási algoritmus megírását, majd az ott található konkrét példákból az értékek helyettesítését. A mátrixmódszerrel vagy a Cramer-képletekkel ellentétben lineáris egyenletrendszer Gauss-módszerrel történő megoldása során olyanokkal is dolgozhatunk, amelyeknek végtelen sok megoldása van. Vagy egyáltalán nincs meg.
Mit jelent Gauss-módszerrel megoldani?
Először is fel kell írnunk az egyenletrendszerünket mátrixként. Ez így néz ki. A rendszer veszi:
Az együtthatók táblázat formájában vannak felírva, jobb oldalon pedig külön oszlopban - a szabad tagok. A szabad tagokkal rendelkező oszlopot a kényelem kedvéért függőleges sáv választja el. Az ezt az oszlopot tartalmazó mátrixot kiterjesztettnek nevezzük.
Ezután az együtthatókkal ellátott főmátrixot le kell redukálni a felső háromszög alakra. Ez a fő pontja a rendszer Gauss-módszerrel történő megoldásának. Egyszerűen fogalmazva, bizonyos manipulációk után a mátrixnak így kell kinéznie, hogy a bal alsó részében csak nullák legyenek:
Ezután, ha az új mátrixot egyenletrendszerként újra felírod, észre fogod venni, hogy az utolsó sor már tartalmazza az egyik gyök értékét, amit aztán behelyettesítünk a fenti egyenletbe, és egy másik gyökér található, és így tovább.
Ez a Gauss-megoldás legáltalánosabb leírása. És mi történik, ha hirtelen a rendszernek nincs megoldása? Vagy végtelen sok van belőlük? Ezen és még sok más kérdés megválaszolásához külön figyelembe kell venni a Gauss-módszerrel a megoldásban használt összes elemet.
Matrixok, tulajdonságaik
Nincs rejtett jelentés a mátrixban. Ez csak egy kényelmes módja az adatok rögzítésének a későbbi műveletekhez. Még az iskolásoknak sem kell félniük tőlük.
A mátrix mindig téglalap alakú, mert így kényelmesebb. Még a Gauss-módszerben is, ahol minden egy háromszög mátrix felépítésében merül ki, egy téglalap jelenik meg a bejegyzésben, csak nullákkal azon a helyen, ahol nincsenek számok. A nullák elhagyhatók, de beleértettek.
A mátrixnak mérete van. A "szélessége" a sorok száma (m), a "hossza" az oszlopok száma (n). Ekkor az A mátrix méretét (a jelölésükre általában latin nagybetűket használnak) a következőképpen jelöljük: Am×n. Ha m=n, akkor ez a mátrix négyzet, ésm=n - sorrendje. Ennek megfelelően az A mátrix bármely eleme jelölhető sora és oszlopa számával: axy; x - sorszám, módosítás [1, m], y - oszlop száma, módosítás [1, n].
A Gauss-módszerben nem a mátrixok a fő szempont a megoldásban. Elvileg minden művelet közvetlenül végrehajtható magával az egyenletekkel, azonban a jelölés sokkal körülményesebb lesz, és sokkal könnyebben összezavarodhatunk benne.
Selejtező
A mátrixnak is van meghatározója. Ez egy nagyon fontos funkció. A jelentését most nem érdemes kideríteni, egyszerűen megmutathatja, hogyan számítják ki, majd megmondja, hogy a mátrix milyen tulajdonságait határozza meg. A determinánst legegyszerűbben átlókon keresztül találhatjuk meg. A mátrixba képzeletbeli átlókat rajzolnak; a rajtuk elhelyezkedő elemeket megszorozzuk, majd a kapott szorzatokat összeadjuk: jobbra lejtős átlók - "plusz" jellel, balra lejtővel - "mínusz" jellel.
Rendkívül fontos megjegyezni, hogy a determináns csak négyzetmátrixra számítható. Téglalap alakú mátrix esetén a következőket teheti: válassza ki a legkisebbet a sorok és az oszlopok számából (legyen k), majd véletlenszerűen jelöljön ki a mátrixban k oszlopot és k sort. A kiválasztott oszlopok és sorok metszéspontjában elhelyezkedő elemek egy új négyzetmátrixot alkotnak. Ha egy ilyen mátrix determinánsa nullától eltérő szám, akkor az eredeti téglalap mátrix alapmolljának nevezzük.
Előttehogyan kezdjünk el egy egyenletrendszer Gauss-módszerrel megoldani, nem árt a determináns kiszámítása. Ha kiderül, hogy nulla, akkor azonnal azt mondhatjuk, hogy a mátrixnak vagy végtelen számú megoldása van, vagy nincs is. Ilyen szomorú esetben tovább kell mennünk, és megtudni a mátrix rangját.
Rendszerek osztályozása
Van olyan, hogy egy mátrix rangja. Ez a nem nulla determinánsának maximális sorrendje (a bázis-mollra emlékezve azt mondhatjuk, hogy egy mátrix rangja a bázis-moll sorrendje).
Ahogy a helyzet a ranggal, a SLOW a következőkre osztható:
- Ízület. Közös rendszerek esetén a fő mátrix rangja (amely csak együtthatókból áll) egybeesik a kiterjesztett (szabad tagok oszlopával) rangjával. Az ilyen rendszereknek van megoldásuk, de nem feltétlenül egy, ezért a csuklós rendszereket további részekre osztják:
- - határozott - egyedi megoldással. Bizonyos rendszerekben a mátrix rangja és az ismeretlenek száma egyenlő (vagy az oszlopok száma, ami ugyanaz);
- - határozatlan - végtelen számú megoldással. Az ilyen rendszerekben a mátrixok rangja kisebb, mint az ismeretlenek száma.
- Inkompatibilis. Az ilyen rendszerek esetében a fő és a kiterjesztett mátrixok rangja nem egyezik. Az inkompatibilis rendszereknek nincs megoldása.
A Gauss-módszer azért jó, mert lehetővé teszi vagy a rendszer inkonzisztenciájának egyértelmű bizonyítását (nagy mátrixok determinánsainak kiszámítása nélkül), vagy egy végtelen számú megoldású rendszer általános megoldását.
Elemi átalakítások
Előttehogyan tovább közvetlenül a rendszer megoldásához, kevésbé nehézkessé és kényelmesebbé teheti a számításokat. Ezt elemi átalakításokkal érik el – úgy, hogy azok végrehajtása semmilyen módon nem változtatja meg a végső választ. Megjegyzendő, hogy a fenti elemi transzformációk közül néhány csak olyan mátrixokra érvényes, amelyek forrása pontosan az SLAE volt. Íme az átalakítások listája:
- Karakterláncok módosítása. Nyilvánvaló, hogy ha a rendszerrekordban megváltoztatjuk az egyenletek sorrendjét, akkor ez semmilyen módon nem befolyásolja a megoldást. Ezért ennek a rendszernek a mátrixában is lehetőség van sorok felcserélésére, természetesen a szabad tagok oszlopáról sem feledkezve meg.
- A karakterlánc összes elemének megszorzása valamilyen tényezővel. Nagyon hasznos! Ezzel csökkentheti a nagy számokat a mátrixban, vagy eltávolíthatja a nullákat. A megoldáskészlet, mint általában, nem változik, és kényelmesebbé válik a további műveletek elvégzése. A lényeg az, hogy az együttható ne legyen egyenlő nullával.
- Az arányos együtthatós sorok törlése. Ez részben az előző bekezdésből következik. Ha a mátrix két vagy több sora arányos együtthatóval rendelkezik, akkor az egyik sort az arányossági együtthatóval megszorozva / elosztva két (vagy ismételten több) teljesen azonos sort kapunk, és eltávolíthatjuk a felesleges sorokat, csak maradva egy.
- Törölje a null sort. Ha a transzformációk során valahol olyan karakterláncot kapunk, amelyben minden elem, beleértve a szabad tagot is, nulla, akkor az ilyen karakterláncot nullának nevezhetjük és kidobhatjuk a mátrixból.
- Hozzáadás egy másik sor elemeinek elemeihez (a szerintmegfelelő oszlopok) megszorozva valamilyen együtthatóval. A leghomályosabb és legfontosabb átalakulás. Érdemes részletesebben elidőzni rajta.
Karakterlánc hozzáadása egy tényezővel szorozva
A könnyebb érthetőség érdekében érdemes lépésről lépésre szétszedni ezt a folyamatot. Két sort veszünk a mátrixból:
a11 a12 … a1n | b1
a21 a22 … a2n | b2
Tegyük fel, hogy hozzá kell adni az elsőt, szorozva a "-2" együtthatóval a másodikhoz.
a'21 =a21 + -2×a11
a'22 =a22 + -2×a12
a'2n =a2n + -2×a1n
Ezután a mátrix második sora egy újra cserélődik, míg az első változatlan marad.
a11 a12 … a1n | b1
a'21 a'22 … a'2n | b2
Megjegyzendő, hogy a szorzótényezőt úgy is meg lehet választani, hogy két karakterlánc összeadása következtében az új karakterlánc egyik eleme nulla legyen. Ezért a rendszerben egy egyenletet kaphatunk, ahol eggyel kevesebb lesz az ismeretlen. És ha két ilyen egyenletet kapunk, akkor a műveletet meg lehet ismételni, és kapunk egy egyenletet, amely már kettővel kevesebb ismeretlent tartalmaz. És ha minden alkalommal nulla egy együtthatót állítunk be az összes olyan sorra, amely alacsonyabb, mint az eredeti, akkor lépésekhez hasonlóan le tudunk menni a mátrix legaljára, és kapunk egy egyenletet egy ismeretlennel. Ezt nevezikoldja meg a rendszert a Gauss-módszerrel.
Általában
Legyen rendszer. M egyenlete és n ismeretlen gyöke van. Ezt így írhatod:
A fő mátrixot a rendszer együtthatóiból állítják össze. A kibővített mátrixhoz hozzáadunk egy oszlopot az ingyenes tagokból, és a kényelem kedvéért sáv választja el őket.
Következő:
- a mátrix első sorát megszorozzuk a k=(-a21/a11); együtthatóval
- a mátrix első módosított sora és második sora hozzáadódik;
- a második sor helyett az előző bekezdésből származó összeadás eredménye kerül beillesztésre a mátrixba;
- most az első együttható az új második sorban a11 × (-a21/a11) + a21 =-a21 + a21=0.
Most ugyanazt az átalakítási sorozatot hajtják végre, csak az első és a harmadik sor érintett. Ennek megfelelően az algoritmus minden lépésében az a21 elemet a31 elemre cseréljük. Ezután minden megismétlődik a41, … am1 esetében. Az eredmény egy mátrix, ahol a [2, m] sorok első eleme nulla. Most el kell felejtenie az első sort, és ugyanazt az algoritmust kell végrehajtania a második sortól kezdve:
- k együttható=(-a32/a22);
- a második módosított sor hozzáadódik az "aktuális" sorhoz;
- az összeadás eredménye behelyettesítésre kerül a harmadik, negyedik és így tovább sorban, míg az első és a második változatlan marad;
- a mátrix [3, m] soraiban az első két elem már egyenlő nullával.
Az algoritmust addig kell ismételni, amíg a k=(-am, m-1/amm meg nem jelenik). Ez azt jelenti, hogy az algoritmus utoljára csak az alsó egyenletre futott le. Most a mátrix úgy néz ki, mint egy háromszög, vagy lépcsős alakú. Az alsó sor az amn × x =bm egyenletet tartalmazza. Ismert az együttható és a szabad tag, és ezeken keresztül fejeződik ki a gyök: x =bm/amn. Az eredményül kapott gyökér behelyettesítésre kerül a felső sorba, hogy megtaláljuk xn-1=(bm-1 - am-1, n×(bm/amn))÷am-1, n-1. És így tovább analógia útján: minden következő sorban van egy új gyök, és a rendszer „tetejére” érve egy sor megoldást találhatunk [x1, … x ]. Ez lesz az egyetlen.
Amikor nincs megoldás
Ha az egyik mátrixsorban a szabad tag kivételével minden elem nulla, akkor az ennek a sornak megfelelő egyenlet így néz ki: 0=b. Nincs rá megoldás. És mivel egy ilyen egyenlet benne van a rendszerben, akkor az egész rendszer megoldásainak halmaza üres, azaz degenerált.
Amikor végtelen számú megoldás létezik
Kiderülhet, hogy a redukált háromszögmátrixban nincsenek sorok egy elemmel - az egyenlet együtthatójával és egy szabad taggal. Csak olyan karakterláncok vannak, amelyek átírva úgy néznek ki, mint egy két vagy több változót tartalmazó egyenlet. Ez azt jelenti, hogy a rendszernek végtelen számú megoldása van. Ebben az esetben a válasz általános megoldás formájában adható meg. Hogyan kell csinálni?
MindenA mátrix változói alap- és szabadra oszlanak. Alap - ezek azok, amelyek a lépcsős mátrix sorainak "szélén" állnak. A többi ingyenes. Az általános megoldásban az alapváltozókat a szabad változókkal együtt írjuk.
A kényelem kedvéért a mátrixot először egyenletrendszerré írjuk vissza. Aztán az utolsóban, ahol pontosan csak egy alapváltozó maradt, az egyik oldalon marad, és minden más átkerül a másikra. Ez minden egyenletre egy alapváltozóval történik. Ekkor a többi egyenletben lehetőség szerint az alapváltozó helyett a kapott kifejezést helyettesítjük be. Ha az eredmény ismét csak egy alapváltozót tartalmazó kifejezés, akkor onnantól ismét kifejeződik, és így tovább, amíg az egyes alapváltozókat szabad változókkal rendelkező kifejezésként írjuk fel. Ez a SLAE általános megoldása.
Megtalálhatja a rendszer alapmegoldását is - adjon meg tetszőleges értéket a szabad változóknak, majd számítsa ki az alapváltozók értékét erre az esetre. Végtelenül sok egyedi megoldás létezik.
Megoldás konkrét példákkal
Itt van egy egyenletrendszer.
A kényelem érdekében jobb, ha azonnal elkészíti a mátrixát
Ismerhető, hogy Gauss-módszerrel történő megoldáskor az első sornak megfelelő egyenlet változatlan marad a transzformációk végén. Ezért jövedelmezőbb lesz, ha a mátrix bal felső eleme a legkisebb - akkor az első elemeka műveletek után a többi sor nullára változik. Ez azt jelenti, hogy az összeállított mátrixban előnyös lesz a második sort az első helyére tenni.
Ezután meg kell változtatnia a második és a harmadik sort úgy, hogy az első elemek nullává váljanak. Ehhez adja hozzá őket az elsőhöz, megszorozva egy együtthatóval:
második sor: k=(-a21/a11)=(-3/1)=-3
a'21 =a21 + k×a11=3 + (-3)×1=0
a'22 =a22 + k×a12 =-1 + (- 3)×2=-7
a'23 =a23 + k×a13 =1 + (-3)×4=-11
b'2 =b2 + k×b1=12 + (-3)×12=-24
harmadik sor: k=(-a31/a11)=(- 5/1)=-5
a'31 =a31+ k×a11=5 + (-5)×1=0
a'32 =a32+ k×a12 =1 + (-5)×2=-9
a'33 =a33 + k×a13 =2 + (-5)×4=-18
b'3=b3 + k×b1=3 + (-5)×12=-57
Most, hogy ne keveredjen össze, írjon egy mátrixot a transzformációk közbenső eredményeivel.
Nyilvánvalóan egy ilyen mátrix olvashatóbbá tehető néhány művelet segítségével. Például eltávolíthatja az összes "mínuszt" a második sorból, ha minden elemet "-1"-gyel megszoroz.
Azt is érdemes megjegyezni, hogy a harmadik sorban minden elem három többszöröse. Akkor lehetvágja le a karakterláncot ezzel a számmal, minden elemet megszorozva "-1/3"-mal (mínusz - egyidejűleg a negatív értékek eltávolításához).
Sokkal szebben néz ki. Most békén kell hagynunk az első sort, és dolgoznunk kell a másodikkal és a harmadikkal. A feladat az, hogy a második sort hozzá kell adni a harmadikhoz, megszorozva olyan tényezővel, hogy az a32 elem nullává váljon.
k=(-a32/a22)=(-3/7)=-3/7 (ha bizonyos átalakítások során a válaszból kiderült, hogy nem egész, ajánlatos „ahogyan” hagyni, közönséges tört formájában, és csak ezután, a válaszok beérkezése után dönteni, hogy kerekítjük-e és átváltjuk-e egy másik alakra. jelölés)
a'32=a32 + k×a22=3 + (-3 /7)×7=3 + (-3)=0
a'33=a33 + k×a23=6 + (-3 /7)×11=-9/7
b'3 =b3 + k×b2=19 + (-3 /7)×24=-61/7
A mátrix ismét új értékekkel íródik.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Amint látja, az eredményül kapott mátrixnak már van lépcsős formája. Ezért nincs szükség a rendszer további átalakításaira Gauss-módszerrel. Itt annyit tehetünk, hogy eltávolítjuk a „-1/7” általános együtthatót a harmadik sorból.
Most mindenkiszép. A lényeg kicsi - írja fel újra a mátrixot egyenletrendszer formájában, és számítsa ki a gyököket
x + 2y + 4z=12 (1)
7y + 11z=24 (2)
9z=61 (3)
Azt az algoritmust, amellyel a gyököket most megtalálja, a Gauss-módszerben fordított mozgásnak nevezik. A (3) egyenlet a z értéket tartalmazza:
z=61/9
Ezután térjen vissza a második egyenlethez:
y=(24 - 11×(61/9))/7=-65/9
És az első egyenlet lehetővé teszi, hogy megtalálja x:
x=(12-4z - 2y)/1=12-4×(61/9) - 2×(-65/9)=-6/9=-2/3
Jogunk van egy ilyen rendszert egyesítettnek, sőt határozottnak nevezni, vagyis egyedi megoldással. A válasz a következő formában van írva:
x1=-2/3, y=-65/9, z=61/9.
Példa egy határozatlan rendszerre
Egy adott rendszer Gauss-módszerrel történő megoldásának változatát elemeztük, most azt az esetet kell figyelembe venni, ha a rendszer határozatlan, vagyis végtelen sok megoldás található rá.
x1 + x2 + x3 + x 4+ x5=7 (1)
3x1 + 2x2 + x3 + x 4 - 3x5=-2 (2)
x2 + 2x3 + 2x4 + 6x 5 =23 (3)
5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x 4 - x5=12 (4)
Már a rendszer formája is riasztó, mert az ismeretlenek száma n=5, és a rendszermátrix rangja már pontosan kisebb ennél, mert a sorok száma m=4, vagyis a négyzetdetermináns legnagyobb rendje 4. Tehát,Végtelen sok megoldás létezik, és ennek általános formáját kell keresnünk. A lineáris egyenletek Gauss-módszere lehetővé teszi ezt.
Először, mint általában, a kiterjesztett mátrixot állítják össze.
Második sor: együttható k=(-a21/a11)=-3. A harmadik sorban az első elem az átalakítások előtt van, tehát nem kell hozzányúlni semmihez, hanem úgy kell hagyni, ahogy van. Negyedik sor: k=(-a41/a11)=-5
Az első sor elemeit sorra megszorozva az egyes együtthatóikkal, és hozzáadva a szükséges sorokhoz, a következő alakú mátrixot kapjuk:
Mint látható, a második, harmadik és negyedik sor egymással arányos elemekből áll. A második és a negyedik általában megegyezik, így az egyiket azonnal eltávolíthatjuk, a többit pedig megszorozzuk a "-1" együtthatóval, és megkapjuk a 3-as sort. És ismét hagyja meg a két azonos sor egyikét.
Az eredmény egy ilyen mátrix. A rendszert még nem írták le, itt meg kell határozni az alapváltozókat - az a11=1 és a22=1 együtthatóknál., és ingyenes – a többi.
Csak egy alapváltozó van a második egyenletben - x2. Innen tehát kifejezhető az x3, x4, x5 változókon keresztül, amelyek ingyenesek.
Helyettesítse be a kapott kifejezést az első egyenletbe.
Kiderült egy egyenlet, amelybenaz egyetlen alapváltozó az x1. Ugyanazt csináljuk vele, mint az x2.
Minden alapváltozó, amiből kettő van, három szabad változóval van kifejezve, most már általános formában is megírhatja a választ.
Megadhatja a rendszer adott megoldásainak egyikét is. Ilyen esetekben általában nullákat választanak a szabad változók értékeként. Akkor a válasz:
-16, 23, 0, 0, 0.
Példa egy inkonzisztens rendszerre
Az inkonzisztens egyenletrendszerek Gauss-módszerrel történő megoldása a leggyorsabb. Amint az egyik szakaszban olyan egyenletet kapunk, amelynek nincs megoldása, véget ér. Vagyis eltűnik a gyökerek kiszámításával járó szakasz, amely meglehetősen hosszú és sivár. A következő rendszert fontolgatjuk:
x + y - z=0 (1)
2x - y - z=-2 (2)
4x + y - 3z=5 (3)
Szokás szerint a mátrix összeállítása:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
És lépcsőzetes formára redukálva:
k1 =-2k2 =-4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Az első átalakítás után a harmadik sor a következő alakú egyenletet tartalmazza
0=7, nincs megoldás. Ezért a rendszerinkonzisztens, és a válasz az üres halmaz.
A módszer előnyei és hátrányai
Ha kiválasztja, hogy melyik módszert oldja meg papíron a SLAE-t tollal, akkor az ebben a cikkben tárgy alt módszer tűnik a legvonzóbbnak. Az elemi transzformációknál sokkal nehezebb összezavarodni, mint ha kézzel kell keresni a determinánst vagy valami trükkös inverz mátrixot. Ha azonban programokat használ az ilyen típusú adatokkal való munkavégzéshez, például táblázatokat, akkor kiderül, hogy ezek a programok már tartalmaznak algoritmusokat a mátrixok fő paramétereinek kiszámításához - a determináns, a minorok, az inverz és transzponált mátrixok stb.. Ha pedig biztos abban, hogy a gép ezeket az értékeket maga számítja ki, és nem hibázik, célszerűbb a mátrixmódszert vagy a Cramer-képleteket használni, mert ezek alkalmazása a determinánsok és inverz mátrixok kiszámításával kezdődik és végződik.
Alkalmazás
Mivel a Gauss-féle megoldás egy algoritmus, a mátrix pedig valójában egy kétdimenziós tömb, ezért programozásban is használható. Ám mivel a cikk „a bábuk” útmutatójaként pozicionálja magát, el kell mondanunk, hogy a módszert legegyszerűbben táblázatokba, például Excelbe lehet helyezni. Az Excel ismét kétdimenziós tömbnek tekinti a táblázatba mátrix formájában beírt bármely SLAE-t. A velük végzett műveletekhez pedig sok szép parancs létezik: összeadás (csak azonos méretű mátrixokat adhat hozzá!), Szorzás számmal, mátrixszorzás (valamintbizonyos korlátozások), az inverz és transzponált mátrixok megtalálása, és ami a legfontosabb, a determináns kiszámítása. Ha ezt az időigényes feladatot egyetlen paranccsal helyettesítjük, sokkal gyorsabban meg lehet határozni a mátrix rangját, és így megállapítható a kompatibilitása vagy az inkonzisztencia.
