A valószínűségelmélet tanulmányozása a valószínűségek összeadási és szorzási problémáinak megoldásával kezdődik. Azonnal érdemes megemlíteni, hogy ennek a tudásterületnek az elsajátítása során a hallgató olyan problémába ütközhet, hogy ha a fizikai vagy kémiai folyamatok vizuálisan ábrázolhatók és empirikusan is megérthetők, akkor a matematikai absztrakció szintje nagyon magas, és a megértés itt csak azzal jár. tapasztalat.
A játék azonban megéri a gyertyát, mert a képleteket - mind a cikkben tárgy alt, mind az összetettebbeket - ma mindenhol használják, és a munkában is hasznosak lehetnek.
Origin
Furcsa módon a matematika e részlegének fejlesztéséhez… a szerencsejáték volt a lendület. Valójában a kocka, az érmefeldobás, a póker és a rulett tipikus példák, amelyek a valószínűségek összeadását és szorzását használják. Bármely tankönyvben szereplő feladatok példáján ez jól látható. Az embereket érdekelte, hogy megtanulják, hogyan növelhetik nyerési esélyeiket, és meg kell mondanom, néhányuknak ez sikerült is.
Például már a 21. században egy személy, akinek a nevét nem hozzuk nyilvánosságra,ezt az évszázadok során felhalmozott tudást felhasználta a kaszinó szó szerinti „megtisztítására”, és több tízmillió dollárt nyert a ruletten.
A téma iránti fokozott érdeklődés ellenére azonban csak a 20. században alakult ki az az elméleti keret, amely a „teorvert” a matematika teljes értékű alkotóelemévé tette. Ma szinte minden tudományban megtalálhatók valószínűségszámítási módszereket használó számítások.
Alkalmazhatóság
A valószínűségek összeadási és szorzási képleteinél fontos szempont, a feltételes valószínűség a központi határtétel teljesíthetősége. Ellenkező esetben, bár előfordulhat, hogy a tanuló nem valósítja meg, minden számítás, bármennyire hihetőnek tűnik is, hibás lesz.
Igen, a rendkívül motivált tanuló minden adandó alkalommal kísértést érez az új ismeretek felhasználására. De ebben az esetben le kell lassítani egy kicsit, és szigorúan körvonalazni az alkalmazási kört.
A valószínűségszámítás véletlenszerű eseményekkel foglalkozik, amelyek empirikus értelemben kísérletek eredményei: dobhatunk egy hatoldalú kockát, húzhatunk lapot a pakliból, megjósolhatjuk a hibás alkatrészek számát egy kötegben. Egyes kérdésekben azonban kategorikusan lehetetlen a matematika ezen részéből származó képleteket használni. Az esemény valószínűségeinek figyelembevételének jellemzőit, az események összeadási és szorzási tételeit a cikk végén tárgyaljuk, de most térjünk át a példákra.
Alapfogalmak
A véletlenszerű esemény valamilyen folyamatot vagy eredményt jelent, amely megjelenhet vagy nema kísérlet eredményeként. Például feldobunk egy szendvicset – vajjal felfelé vagy lefelé eshet. A két eredmény bármelyike véletlenszerű lesz, és nem tudjuk előre, hogy melyik fog bekövetkezni.
A valószínűségek összeadását és szorzását tanulmányozva további két fogalomra van szükségünk.
Közös események azok az események, amelyek közül az egyik bekövetkezése nem zárja ki a másik bekövetkezését. Tegyük fel, hogy egyszerre két ember lő célba. Ha egyikük sikeres lövést ad le, az nem befolyásolja a másik eltalálási vagy eltévesztési képességét.
Konzisztensek lesznek azok az események, amelyek bekövetkezése egyszerre lehetetlen. Például, ha csak egy golyót húz ki a dobozból, nem kaphatja meg egyszerre a kéket és a pirosat.
Megjelölés
A valószínűség fogalmát a latin nagy P betű jelöli. Ezután zárójelben néhány eseményt jelző argumentumok találhatók.
Az összeadási tétel, a feltételes valószínűség, a szorzási tétel képleteiben zárójelben lévő kifejezések láthatók, például: A+B, AB vagy A|B. Számításuk többféleképpen történik, most rájuk térünk.
Kiegészítés
Nézzük meg azokat az eseteket, amikor összeadási és szorzási képleteket használnak.
Inkompatibilis események esetén a legegyszerűbb összeadási képlet a releváns: a véletlen kimenetelek bármelyikének valószínűsége egyenlő lesz az egyes kimenetelek valószínűségeinek összegével.
Tegyük fel, hogy van egy doboz 2 kék, 3 piros és 5 sárga léggömbbel. A dobozban összesen 10 darab található. Hány százalékban igaz az az állítás, hogy kék vagy piros golyót húzunk? Ez egyenlő lesz 2/10 + 3/10, azaz ötven százalékkal.
Inkompatibilis események esetén a képlet bonyolultabbá válik, mivel hozzáadódik egy további kifejezés. Egy bekezdésben visszatérünk rá, még egy képlet megfontolása után.
Szorzás
A független események valószínűségeinek összeadása és szorzása különböző esetekben használatos. Ha a kísérlet feltétele szerint elégedettek vagyunk a két lehetséges kimenetel valamelyikével, akkor kiszámítjuk az összeget; ha két bizonyos eredményt szeretnénk elérni egymás után, akkor egy másik képlethez fogunk folyamodni.
Visszatérve az előző rész példájára, először a kék golyót, majd a pirosat szeretnénk megrajzolni. Az első általunk ismert szám a 2/10. Mi történik ezután? 9 golyó maradt, piros még ugyanannyi - három darab. A számítások szerint 3/9-et vagy 1/3-ot kapsz. De mit kezdjünk most két számmal? A helyes válasz az, hogy szorozva 2/30-at kapunk.
Közös rendezvények
Most újra áttekinthetjük a közös rendezvények összegképletét. Miért térünk el a témától? Megtanulni, hogyan szorozzák a valószínűségeket. Most ez a tudás jól fog jönni.
Már tudjuk, mi lesz az első két tag (ugyanúgy, mint a korábban tárgy alt összeadási képletben), most ki kell vonnunka valószínűségek szorzata, amelyet most tanultunk meg kiszámítani. Az érthetőség kedvéért írjuk a képletet: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Kiderült, hogy a valószínűségek összeadását és szorzását is egy kifejezésben használják.
Tegyük fel, hogy a két probléma valamelyikét meg kell oldanunk a hitelhez. Megoldás: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72 Megoldás: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72. Megjegyezzük, hogy a számok összegzése itt nem lesz elég.
Feltételes valószínűség
Végül ott van a feltételes valószínűség fogalma, amelynek argumentumait zárójelben jelöljük, és függőleges sáv választja el egymástól. A P(A|B) bejegyzés a következőképpen szól: „Az adott B esemény A esemény valószínűsége”.
Nézzünk egy példát: egy barát ad valami eszközt, legyen az egy telefon. Lehet törött (20%) vagy jó (80%). Bármilyen eszközt meg tud javítani, ami a kezedbe kerül 0,4-es valószínűséggel, vagy nem vagy képes rá (0,6). Végül, ha az eszköz működőképes, akkor 0,7 valószínűséggel elérheti a megfelelő személyt.
Ebben az esetben könnyen belátható, hogyan működik a feltételes valószínűség: nem lehet átjutni az emberhez, ha elromlott a telefon, és ha jó, akkor nem kell javítani. Így ahhoz, hogy a "második szinten" eredményeket érjen el, tudnia kell, hogy melyik eseményt hajtották végre az elsőn.
Számítások
Vegyünk példákat a valószínűségek összeadásával és szorzásával kapcsolatos problémák megoldására az előző bekezdés adatainak felhasználásával.
Először is nézzük meg annak a valószínűségét, hogy Önjavítsa meg a kapott készüléket. Ehhez egyrészt hibásnak kell lennie, másrészt meg kell birkóznia a javítással. Ez egy tipikus szorzási probléma: 0,20,4=0,08.
Mekkora a valószínűsége annak, hogy azonnal eljut a megfelelő emberhez? Könnyebb az egyszerűnél: 0,80,7=0,56. Ebben az esetben úgy találta, hogy a telefon működik, és sikeresen kezdeményezett hívást.
Végül fontolja meg ezt a forgatókönyvet: tönkrement telefont kapott, megjavította, majd tárcsázta a számot, és a másik oldalon lévő személy vette fel a telefont. Itt már három komponens szorzata szükséges: 0, 20, 40, 7=0, 056.
És mi van akkor, ha egyszerre két nem működő telefonja van? Mennyire valószínű, hogy kijavítja legalább az egyiket? Ez a valószínűségek összeadásának és szorzásának problémája, mivel közös eseményeket használnak. Megoldás: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Gondos használat
Amint azt a cikk elején említettük, a valószínűségszámítás használatának megfontoltnak és tudatosnak kell lennie.
Minél nagyobb a kísérletsorozat, annál közelebb kerül az elméletileg előre jelzett érték a gyakorlati értékhez. Például feldobunk egy érmét. Elméletileg, ha ismerjük a valószínűségek összeadási és szorzási képleteit, megjósolhatjuk, hogy 10-szeres kísérlettel hányszor esnek ki a fejek és a farok. Kísérletet végeztünk ésVéletlenül a kiesett oldalak aránya 3:7 volt. De ha 100, 1000 vagy több próbálkozásból álló sorozatot hajtunk végre, akkor kiderül, hogy az eloszlási gráf egyre közelebb kerül az elméletihez: 44 az 56-hoz, 482 a 518 és így tovább.
Képzeld el, hogy ezt a kísérletet nem pénzérmével, hanem valamilyen új vegyi anyag előállításával hajtják végre, aminek a valószínűségét nem ismerjük. 10 kísérletet futtatnánk, és ha nem kapnánk sikeres eredményt, általánosíthatnánk: "az anyagot nem lehet megszerezni". De ki tudja, ha megtesszük a tizenegyedik próbálkozást, elértük volna a célt vagy sem?
Tehát ha az ismeretlenbe, a feltáratlan birodalomba mész, a valószínűségelmélet nem biztos, hogy érvényes. Ebben az esetben minden további próbálkozás sikeres lehet, és az olyan általánosítások, mint „X nem létezik” vagy „X lehetetlen”, koraiak lesznek.
Zárszó
Tehát megvizsgáltuk az összeadás két típusát, a szorzást és a feltételes valószínűségeket. A terület további tanulmányozása során meg kell tanulni megkülönböztetni azokat a helyzeteket, amikor minden egyes képletet használnak. Ezenkívül meg kell értenie, hogy a valószínűségi módszerek általában alkalmazhatók-e a probléma megoldására.
Ha gyakorolsz, egy idő után elkezded az összes szükséges műveletet kizárólag az elmédben végrehajtani. A kártyajátékok kedvelői számára ez a készség megfontolhatórendkívül értékes - jelentősen növeli a nyerési esélyeit, pusztán azzal, hogy kiszámítja egy adott kártya vagy öltöny kiesésének valószínűségét. A megszerzett tudás azonban könnyen alkalmazható más tevékenységi területeken is.
