A vektor fontos geometriai objektum, tulajdonságainak segítségével kényelmesen megoldható számos probléma síkon és térben. Ebben a cikkben definiáljuk, megvizsgáljuk főbb jellemzőit, és azt is bemutatjuk, hogyan lehet egy térbeli vektort síkok meghatározására használni.
Mi a vektor: kétdimenziós eset
Először is világosan meg kell értenünk, milyen tárgyról beszélünk. A geometriában az irányított szakaszt vektornak nevezzük. Mint minden szakaszt, ezt is két fő elem jellemzi: a kezdő- és végpont. Ezeknek a pontoknak a koordinátái egyértelműen meghatározzák a vektor összes jellemzőjét.
Vegyünk egy példát egy vektorra egy síkon. Ehhez két egymásra merőleges x és y tengelyt rajzolunk. Jelöljünk egy tetszőleges P(x, y) pontot. Ha ezt a pontot összekötjük az origóval (O pont), majd megadjuk az irányt P-re, akkor az OP¯ vektort kapjuk (később a cikkben a szimbólum feletti sáv azt jelzi, hogy vektort tekintünk). A síkon lévő vektorrajz az alábbiakban látható.
Itt egy másik AB¯ vektor is látható, és látható, hogy a karakterisztikája pontosan megegyezik az OP¯-éval, de a koordinátarendszer egy másik részében van. Az OP¯ párhuzamos fordításával végtelen számú, azonos tulajdonságú vektort kaphat.
Vektor a térben
Minden valódi tárgy, ami körülvesz bennünket, háromdimenziós térben van. A háromdimenziós alakzatok geometriai tulajdonságainak vizsgálata a sztereometriával foglalkozik, amely a háromdimenziós vektorok fogalmával operál. Csak abban különböznek a kétdimenzióstól, hogy leírásukhoz további koordináta szükséges, amelyet a harmadik merőleges x és y tengely mentén mérünk z.
Az alábbi ábra egy vektort mutat a térben. Végének koordinátáit az egyes tengelyek mentén színes szegmensek jelzik. A vektor eleje mindhárom koordináta tengely metszéspontjában található, vagyis vannak koordinátái (0; 0; 0).
Mivel a síkon lévő vektor egy térbeli irányú szegmens speciális esete, a cikkben csak egy háromdimenziós vektort fogunk figyelembe venni.
Vektorkoordináták a kezdetének és végének ismert koordinátái alapján
Tegyük fel, hogy van két pont P(x1; y1; z1) és Q(x2; y2; z2). Hogyan határozzuk meg a PQ¯ vektor koordinátáit. Először is meg kell állapodni, hogy a pontok közül melyik lesz a vektor kezdete és melyik a vége. A matematikában szokás a kérdéses objektumot az iránya mentén írni, azaz P a kezdet, Q- vége. Másodszor, a PQ¯ vektor koordinátáit a vég és a kezdet megfelelő koordinátái közötti különbségként számítjuk ki, azaz:
PQ¯=(x2- x1; y2- y 1; z2- z1).
Ne feledje, hogy a vektor irányának megváltoztatásával a koordinátái előjelet váltanak, az alábbiak szerint:
QP¯=(x1- x2; y1- y 2; z1- z2).
Ez azt jelenti, hogy PQ¯=-QP¯.
Fontos még egy dolgot megérteni. Fentebb azt mondtuk, hogy a síkban végtelen számú vektor van, amely megegyezik az adott vektorral. Ez a tény a térbeli esetre is érvényes. Valójában, amikor a fenti példában kiszámítottuk a PQ¯ koordinátáit, ennek a vektornak a párhuzamos transzlációját hajtottuk végre úgy, hogy az origója egybeessen az origóval. A PQ¯ vektor irányított szegmensként rajzolható az origótól az M((x2 - x1; y2 - y; z2 - z1).
Vektor tulajdonságai
Mint minden geometriai objektumnak, a vektornak is van néhány jellemző tulajdonsága, amelyek felhasználhatók problémák megoldására. Röviden soroljuk fel őket.
A vektormodulus az irányított szakasz hossza. A koordináták ismeretében könnyen kiszámítható. A fenti példában szereplő PQ¯ vektor modulusa:
|PQ¯|=√[(x2- x1)2 + (y2 - y1)2+ (z2 - z1 )2].
Vektormodul bekapcsolvaa sík kiszámítása hasonló képlettel történik, csak a harmadik koordináta nélkül.
A vektorok összege és különbsége a háromszögszabály szerint történik. Az alábbi ábra bemutatja, hogyan lehet ezeket az objektumokat összeadni és kivonni.
Az összegvektor megszerzéséhez adja hozzá a második elejét az első vektor végéhez. A kívánt vektor az első vektor elején kezdődik és a második vektor végén ér véget.
A különbség végrehajtása annak figyelembevételével történik, hogy a kivont vektort az ellentétesre cseréljük, majd a fent leírt összeadási műveletet hajtjuk végre.
Az összeadás és kivonás mellett fontos, hogy egy vektort tudjunk szorozni számmal. Ha a szám egyenlő k-val, akkor egy olyan vektort kapunk, amelynek modulusa k-szor különbözik az eredetitől, és az irány azonos (k>0), vagy ellentétes az eredetivel (k<0).
A vektorok egymás közötti szorzásának művelete szintén meg van határozva. Külön bekezdést fogunk kiemelni a cikkben.
Skalár- és vektorszorzás
Tegyük fel, hogy van két u¯(x1; y1; z1) és v¯(x2; y2; z2). A vektort vektoronként kétféle módon lehet szorozni:
- Skalár. Ebben az esetben az eredmény egy szám.
- Vektor. Az eredmény egy új vektor.
Az u¯ és v¯ vektorok skaláris szorzatát a következőképpen számítjuk ki:
(u¯v¯)=|u¯||v¯|cos(α).
Ahol α a megadott vektorok közötti szög.
Megmutatható, hogy az u¯ és v¯ koordináták ismeretében a pontszorzatuk a következő képlettel számítható:
(u¯v¯)=x1x2+ y1 y2+ z1z2.
A skaláris szorzat kényelmesen használható, ha egy vektort két merőlegesen irányított szegmensre bont. A vektorok párhuzamosságának vagy ortogonalitásának, valamint a köztük lévő szög kiszámítására is szolgál.
U¯ és v¯ keresztszorzata egy új vektort ad, amely merőleges az eredeti vektorokra, és modulusa:
[u¯v¯]=|u¯||v¯|sin(α).
Az új vektor lefelé vagy felfelé irányuló irányát a jobb kéz szabálya határozza meg (a jobb kéz négy ujját az első vektor végétől a második végéig irányítjuk, és a hüvelykujj felfelé áll az új vektor irányát jelzi). Az alábbi ábra tetszőleges a¯ és b¯ keresztszorzatának eredményét mutatja.
A keresztszorzat az ábrák területeinek kiszámítására, valamint egy adott síkra merőleges vektor koordinátáinak meghatározására szolgál.
A vektorok és tulajdonságaik kényelmesen használhatók egy sík egyenletének meghatározásakor.
A sík normál és általános egyenlete
Többféleképpen definiálhatunk egy síkot. Az egyik a sík általános egyenletének levezetése, amely közvetlenül következik a rá merőleges vektor és a síkhoz tartozó ismert pont ismeretéből.
Tegyük fel, hogy van egy n¯ vektor (A; B; C) és egy P pont (x0; y0; z 0). Milyen feltétel teljesíti a sík Q(x; y; z) pontját? Ez a feltétel abban áll, hogy bármely PQ¯ vektor merőleges legyen az n¯ normálra. Két merőleges vektor esetén a pontszorzat nullává válik (cos(90o)=0), írja be ezt:
(n¯PQ¯)=0 vagy
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.
A zárójeleket kinyitva a következőket kapjuk:
Ax + By + Cz + (-Ax0-By0-C z0)=0 vagy
Ax + By + Cz +D=0 ahol D=-Ax0-By0-Cz0.
Ezt az egyenletet általánosnak nevezzük a síkra. Látjuk, hogy az x, y és z előtti együtthatók az n¯ merőleges vektor koordinátái. Úgy hívják, hogy repülőútmutató.
A sík vektorparaméteres egyenlete
A sík meghatározásának második módja az, hogy két vektort használunk, amelyek benne vannak.
Tegyük fel, hogy vannak u¯(x1; y1; z1) és v¯(x2; y2; z2). Mint mondták, a térben mindegyikük végtelen számú azonos irányított szegmenssel ábrázolható, ezért a sík egyedi meghatározásához még egy pontra van szükség. Legyen ez a pont P(x0;y0; z0). Bármely Q(x; y; z) pont a kívánt síkban lesz, ha a PQ¯ vektor u¯ és v¯ kombinációjaként ábrázolható. Vagyis a következőkkel rendelkezünk:
PQ¯=αu¯ + βv¯.
Ahol α és β néhány valós szám. Ebből az egyenlőségből a következő kifejezés következik:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(x1; y1; z1) + β(x 2; y2; z2).
Ezt a sík paraméteres vektoregyenletének nevezzük 2 u¯ és v¯ vektorhoz képest. Tetszőleges α és β paramétereket behelyettesítve megtalálhatjuk az ehhez a síkhoz tartozó összes pontot (x; y; z).
Ebből az egyenletből könnyen megkapható a sík általános kifejezése. Ehhez elég megkeresni az n¯ irányvektort, amely merőleges lesz mind az u¯, mind a v¯ vektorra, vagyis ezek vektorszorzatát kell alkalmazni.
A sík általános egyenletének meghatározásának problémája
Megmutatjuk, hogyan használhatjuk a fenti képleteket geometriai feladatok megoldására. Tegyük fel, hogy a sík irányvektora n¯(5; -3; 1). Meg kell találni a sík egyenletét, tudva, hogy a P(2; 0; 0) pont hozzá tartozik.
Az általános egyenlet a következőképpen írható:
Ax + By + Cz +D=0.
Mivel a síkra merőleges vektor ismert, az egyenlet a következő formában lesz:
5x - 3y + z +D=0.
Még meg kell találni a D szabad tagot. Kiszámoljuk a P koordináták ismeretéből:
D=-Ax0-By0-Cz0=-52 + 30 - 10=-10.
Így a sík kívánt egyenlete a következő alakú:
5x - 3y + z -10=0.
Az alábbi ábra azt mutatja, hogyan néz ki az eredményül kapott sík.
A pontok jelzett koordinátái megfelelnek a sík x, y és z tengellyel való metszéspontjainak.
A sík két vektoron és egy ponton keresztül történő meghatározásának problémája
Most tegyük fel, hogy az előző sík másképpen van meghatározva. Két u¯(-2; 0; 10) és v¯(-2; -10/3; 0) vektor ismert, valamint a P(2; 0; 0) pont. Hogyan írjuk fel a síkegyenletet vektorparaméteres formában? A megfelelő képlet segítségével a következőt kapjuk:
(x; y; z)=(2; 0; 0) + α(-2; 0; 10) + β(-2; -10/3; 0).
Megjegyezzük, hogy ennek a síkegyenletnek a definíciói, az u¯ és v¯ vektorok teljesen tetszőlegesek lehetnek, de egy feltétellel: nem lehetnek párhuzamosak. Ellenkező esetben a sík nem határozható meg egyértelműen, azonban egy gerenda vagy síkhalmaz egyenlete megtalálható.
