A geometriában egy pont után az egyenes talán a legegyszerűbb elem. Bármilyen összetett figura felépítésére használják síkon és háromdimenziós térben. Ebben a cikkben megvizsgáljuk az egyenes általános egyenletét, és megoldunk néhány problémát a használatával. Kezdjük!
Egyenes vonal a geometriában
Mindenki tudja, hogy az olyan alakzatok, mint a téglalap, háromszög, prizma, kocka és így tovább, egyenes vonalak metszéséből jönnek létre. Az egyenes a geometriában egy egydimenziós objektum, amelyet úgy kaphatunk, hogy egy adott pontot egy azonos vagy ellentétes irányú vektorba viszünk át. A definíció jobb megértéséhez képzeljük el, hogy van egy P pont a térben. Vegyünk egy tetszőleges u¯ vektort ebben a térben. Ekkor az egyenes bármely Q pontja megkapható a következő matematikai műveletek eredményeként:
Q=P + λu¯.
Itt λ egy tetszőleges szám, amely lehet pozitív vagy negatív. Ha egyenlőségírd le fentebb koordinátákkal, akkor a következő egyenes egyenletet kapjuk:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Ezt az egyenlőséget vektor formájú egyenes egyenletének nevezzük. Az u¯ vektort pedig útmutatónak nevezzük.
Egy síkban lévő egyenes általános egyenlete
Minden diák minden nehézség nélkül le tudja írni. De leggyakrabban az egyenletet így írják le:
y=kx + b.
Ahol k és b tetszőleges számok. A b számot szabad tagnak nevezzük. A k paraméter egyenlő annak a szögnek az érintőjével, amelyet az egyenes és az x tengely metszéspontja alkot.
A fenti egyenlet az y változóra vonatkozik. Ha általánosabb formában mutatjuk be, akkor a következő jelölést kapjuk:
Ax + By + C=0.
Könnyen kimutatható, hogy az egyenes általános egyenletének síkra történő felírásának ez a formája könnyen átalakítható az előző alakra. Ehhez a bal és a jobb oldali részt el kell osztani a B tényezővel, és y-val kell kifejezni.
A fenti ábra két ponton áthaladó egyenest mutat.
Egy vonal a 3D térben
Folytassuk tanulmányunkat. Megvizsgáltuk azt a kérdést, hogy hogyan adható meg egy síkon egy általános formában lévő egyenes egyenlete. Ha a cikk előző bekezdésében megadott jelölést alkalmazzuk a térbeli esetre, mit kapunk? Minden egyszerű – már nem egyenes vonal, hanem sík. Valójában a következő kifejezés olyan síkot ír le, amely párhuzamos a z tengellyel:
Ax + By + C=0.
Ha C=0, akkor egy ilyen sík átmegya z tengelyen keresztül. Ez egy fontos funkció.
Hogyan lehet akkor a térbeli egyenes általános egyenletével? Ahhoz, hogy megértsük, hogyan kell megkérdezni, emlékezned kell valamire. Két sík metszi egymást egy bizonyos egyenes mentén. Mit is jelent ez? Csak annyi, hogy az általános egyenlet egy két sík egyenletrendszerének megoldásának eredménye. Írjuk fel ezt a rendszert:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Ez a rendszer egy térbeli egyenes általános egyenlete. Vegyük észre, hogy a síkok nem lehetnek egymással párhuzamosak, azaz normálvektoraik valamilyen szögben kell, hogy legyenek egymáshoz képest. Ellenkező esetben a rendszernek nem lesz megoldása.
Fent megadtuk az egyenlet vektoros alakját egy egyenesre. Ennek a rendszernek a megoldásakor kényelmes használni. Ehhez először meg kell találni ezen síkok normálisainak vektorszorzatát. Ennek a műveletnek az eredménye egy egyenes irányvektora lesz. Ezután az egyeneshez tartozó bármely pontot ki kell számítani. Ehhez bármelyik változót egy bizonyos értékkel egyenlőnek kell állítani, a maradék két változót a redukált rendszer megoldásával találhatjuk meg.
Hogyan fordítsunk le egy vektoregyenletet általánossá? Nüanszok
Ez egy tényleges probléma, amely akkor merülhet fel, ha egy egyenes általános egyenletét két pont ismert koordinátáival kell felírnia. Mutassuk meg, hogyan lehet ezt a problémát megoldani egy példán. Legyen ismert két pont koordinátája:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
A vektoros egyenletet meglehetősen könnyű összeállítani. Az irányvektor koordinátái:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Vegyük észre, hogy nincs különbség, ha a P pont koordinátáiból kivonjuk a Q koordinátákat, akkor a vektor csak az ellenkező irányát fogja megváltoztatni. Most vegyél fel egy pontot, és írd fel a vektoregyenletet:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
Egy egyenes általános egyenletének felírásához mindkét esetben a λ paramétert kell kifejezni. És akkor hasonlítsa össze az eredményeket. Nálunk:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Csak a zárójeleket kell kinyitni, és az egyenlet összes tagját át kell vinni az egyenlet egyik oldalára, hogy általános kifejezést kapjunk egy két ismert ponton átmenő egyenesre.
Háromdimenziós feladat esetén a megoldási algoritmus megmarad, csak annak eredménye lesz két sík egyenletrendszere.
Feladat
Szükséges egy általános egyenlet elkészítéseegy egyenes, amely az x tengelyt (-3, 0) pontban metszi, és párhuzamos az y tengellyel.
Kezdjük a probléma megoldását az egyenlet vektoros formában történő felírásával. Mivel az egyenes párhuzamos az y tengellyel, ezért az irányvektor a következő lesz:
u¯=(0, 1).
Ezután a kívánt sort a következőképpen írjuk:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Most fordítsuk le ezt a kifejezést általános formára, ehhez a λ: paramétert fejezzük ki.
- x=-3;
- y=λ.
Így az y változó bármely értéke hozzátartozik a sorhoz, azonban az x változónak csak egyetlen értéke felel meg neki. Ezért az általános egyenlet a következő formában lesz:
x + 3=0.
Probléma egy egyenes vonallal a térben
Ismert, hogy két egymást metsző síkot a következő egyenletek adnak meg:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Meg kell találni annak az egyenesnek a vektoregyenletét, amely mentén ezek a síkok metszik egymást. Kezdjük.
Amint mondták, a háromdimenziós térben lévő egyenes általános egyenlete már kettőből három ismeretlennel van megadva. Először is meghatározzuk azt az irányvektort, amely mentén a síkok metszik egymást. A normálok vektorkoordinátáit a síkokkal megszorozva a következőt kapjuk:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Mivel egy vektort negatív számmal megszorozva megfordítja az irányát, ezt írhatjuk:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Célhogy vektorkifejezést találjunk egy egyenesre, az irányvektoron kívül ismerni kell ennek az egyenesnek néhány pontját. Keresse meg, mivel a koordinátáinak ki kell elégíteniük az egyenletrendszert a feladat feltételében, akkor meg fogjuk találni őket. Például tegyük x=0-t, akkor a következőt kapjuk:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Így a kívánt egyeneshez tartozó pont koordinátái:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Akkor megkapjuk a választ erre a problémára, a kívánt egyenes vektoregyenlete így fog kinézni:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
A megoldás helyessége könnyen ellenőrizhető. Ehhez ki kell választani a λ paraméter tetszőleges értékét, és be kell cserélni az egyenes pontjának kapott koordinátáit mindkét sík egyenletébe, mindkét esetben azonosságot kapunk.
