Az integrál fogalmának megjelenése abból adódott, hogy a deriváltjával meg kellett találni az antiderivatív függvényt, valamint meg kellett határozni a munka mennyiségét, az összetett ábrák területét, a megtett távolságot, nemlineáris képletekkel leírt görbék által felvázolt paraméterek.
A tanfolyamról
és a fizika tudja, hogy a munka egyenlő az erő és a távolság szorzatával. Ha minden mozgás állandó sebességgel történik, vagy a távolságot azonos erő alkalmazásával leküzdjük, akkor minden világos, csak meg kell szorozni őket. Mi az állandó integrálja? Ez egy y=kx+c alakú lineáris függvény.
De a munkavégzés során fellépő erő változhat, és valamilyen természetes függőségben. Ugyanez a helyzet a megtett távolság kiszámításakor, ha a sebesség nem állandó.
Tehát világos, mire való az integrál. Definíciója, amely a függvényértékek szorzatainak összege az argumentum végtelen kis növekményével, teljes mértékben leírja ennek a fogalomnak a fő jelentését, mint egy ábra területét, amelyet felülről a függvény vonala határol, és az élek a definíció határai mentén.
Jean Gaston Darboux francia matematikus a XIX.században nagyon világosan elmagyarázta, mi az integrál. Annyira világossá tette, hogy általában még egy középiskolásnak sem lesz nehéz megérteni ezt a kérdést.
Tegyük fel, hogy bármely összetett alaknak van függvénye. Az y tengely, amelyen az argumentum értékeit ábrázoljuk, kis intervallumokra van felosztva, ideális esetben végtelenül kicsik, de mivel a végtelen fogalma meglehetősen absztrakt, elegendő csak kis szegmenseket elképzelni, az érték amelyet általában a görög Δ (delta) betűvel jelölnek.
A funkcióról kiderült, hogy kis téglákra "vágták".
Minden argumentumérték megfelel az y tengely egy pontjának, amelyen a megfelelő függvényértékek vannak ábrázolva. De mivel a kiválasztott területnek két szegélye van, a függvénynek két értéke is lesz, több és kevesebb.
A Δ növekedéssel nagyobb értékek szorzatának összegét nagy Darboux-összegnek nevezzük, és S-vel jelöljük. Ennek megfelelően a korlátozott területen lévő kisebb értékeket, megszorozva Δ-vel, együtt alkotnak egy kis Darboux összeget s. Maga a szakasz egy téglalap alakú trapézhoz hasonlít, mivel a függvény egyenesének görbülete a végtelenül kicsi növekményével elhanyagolható. Egy ilyen geometriai alakzat területét úgy lehet legegyszerűbben megkeresni, ha a függvény kisebb és nagyobb értékének szorzatait összeadjuk Δ-növekedéssel, és elosztjuk kettővel, vagyis meghatározzuk számtani átlagként.
Ez a Darboux integrál:
s=Σf(x) Δ egy kis összeg;
S=Σf(x+Δ)Δ egy nagy összeg.
Mi az az integrál? A függvénysor és a definíciós határok által határolt terület a következő lesz:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
Azaz a nagy és a kis Darboux összegek számtani átlaga.c egy állandó érték, amely a differenciálás során nullára kerül.
E fogalom geometriai kifejezése alapján világossá válik az integrál fizikai jelentése. Az ábra sebességfüggvény által körvonalazott és az abszcissza tengely mentén eltöltött időintervallum által határolt területe a megtett út hossza lesz.
L=∫f(x)dx a t1 és t2 közötti intervallumon, Hol
f(x) – sebességfüggvény, vagyis az a képlet, amely alapján idővel változik;
L – úthossz;
t1 – kezdési időpont;
t2 – az utazás befejezési ideje.
Pontosan ugyanezen elv szerint a munka mennyiségét is meghatározzuk, csak a távolságot ábrázoljuk az abszcissza mentén, és az egyes pontokban kifejtett erő mértékét az ordináta mentén.
