Ez a cikk egyszerű kifejezésekkel magyarázza el a Black-Scholes képletet. A Black-Scholes modell a származékos befektetési eszközöket tartalmazó pénzügyi piac dinamikájának matematikai modellje.
A modellben szereplő parciális differenciálegyenletből (amely Black-Scholes egyenletként ismert) a Black-Scholes képlet származtatható. Elméleti európai típusú opciós árat ad, és megmutatja, hogy az opciónak egyedi ára van, függetlenül az értékpapír kockázatától és várható hozamától (ahelyett, hogy az értékpapír várható hozamát egy kockázatsemleges kamattal cserélné ki).
A képlet az opciós kereskedés fellendüléséhez vezetett, és matematikai legitimációt adott a Chicago Board Options Exchange-nek és más opciós piacoknak szerte a világon. Az opciós piaci szereplők széles körben használják, bár gyakran módosításokkal és korrekciókkal. A cikkben szereplő képeken példákat láthat a Black-Scholes képletre.
Történelem és lényeg
Kutatók és gyakorlati szakemberek által korábban kidolgozott munka alapjánAz olyan piacok, mint Louis Bachelier, Sheen Kassouf és Ed Thorpe, Fisher Black és Myron Scholes az 1960-as évek végén bebizonyították, hogy a dinamikus portfólió-revízió megszüntette a biztonság várt megtérülését.
1970-ben, miután megpróbálták alkalmazni a képletet a piacokon, és anyagi veszteségeket szenvedtek a szakmájukban a kockázatkezelés hiánya miatt, úgy döntöttek, hogy szakterületükre, a tudományos életre összpontosítanak. Három év erőfeszítés után a kihirdetésükről elnevezett képletet végül 1973-ban publikálták a Journal of Political Economy "Pricing Options and Corporate Bonds" című cikkében. Robert S. Merton volt az első, aki publikált egy tanulmányt, amely kiterjeszti az opcióárazási modell matematikai megértését, és megalkotta a "Black-Scholes árazási modell" kifejezést.
Munkájáért Merton és Scholes 1997-ben megkapta a közgazdasági Nobel-emlékdíjat, a kockázatoktól független dinamikus revízió felfedezésére hivatkozva, mint áttörést, amely elválasztja a lehetőséget a mögöttes biztonsági kockázattól. Annak ellenére, hogy 1995-ben bekövetkezett halála miatt nem kapta meg a díjat, Blacket egy svéd akadémikus résztvevőként említette. Az alábbi képen egy tipikus Black-Scholes képlet látható.
Opciók
Ennek a modellnek a fő gondolata az opció fedezése a mögöttes eszköz megfelelő vételével és eladásával, és ennek eredményeként a kockázat kiküszöbölésével. Ezt a fajta fedezeti ügyletet „folyamatosan frissített deltafedezetnek” nevezik. Őösszetettebb stratégiák alapja, mint például a befektetési bankok és a fedezeti alapok.
Kockázatkezelés
A modell feltevéseit enyhítették és sok irányba általánosították, aminek eredményeként számos, a származékos termékek árazásában és kockázatkezelésében jelenleg használt modell született. A piaci szereplők gyakran használják a modell megértését, amint azt a Black-Scholes képlet is mutatja, ellentétben a tényleges árakkal. Ezek a részletek nem tartalmazzák az arbitrázs limiteket és a kockázatsemleges árazást (az állandó felülvizsgálat miatt). Ezenkívül a Black-Scholes egyenlet, az opció árát meghatározó parciális differenciálegyenlet, lehetővé teszi az árak számszerű meghatározását, ha az explicit képlet nem lehetséges.
Volatilitás
A Black-Scholes képletnek egyetlen olyan paramétere van, amely közvetlenül nem figyelhető meg a piacon: az alapul szolgáló eszköz átlagos jövőbeli volatilitása, bár ez más opciók árán is megtalálható. Ahogy egy paraméter értéke (akár put, akár hívás) növekszik a paraméterben, megfordítható, hogy "volatilitási felületet" hozzon létre, amelyet aztán más minták, például OTC származékok kalibrálására használnak fel.
Ezeket a feltételezéseket szem előtt tartva tételezzük fel, hogy ezen a piacon származtatott ügyletekkel is kereskednek. Jelezzük, hogy ennek az értékpapírnak egy bizonyos kifizetése lesz a jövőben egy bizonyos napon, a részvény által felvett értéktől függően.e dátum előtt. Meglepő módon a származékos ügylet árfolyama mostanra teljesen meghatározott, bár nem tudjuk, hogy a részvény árfolyama milyen úton halad a jövőben.
Egy európai vételi vagy eladási opció egy speciális esetére Black and Scholes megmutatta, hogy lehetséges olyan fedezett pozíciót létrehozni, amely egy részvény hosszú pozíciójából és egy opció rövid pozíciójából áll, amelynek értéke nem függne a részvény árfolyamától. Dinamikus fedezeti stratégiájuk egy részleges differenciálegyenletet eredményezett, amely meghatározta az opció árát. Megoldását a Black-Scholes képlet adja meg.
Kifejezések különbségei
Az Excel Black-Scholes képlete úgy értelmezhető, hogy először a hívási opciót felosztjuk két bináris opció különbségére. A vételi opció lejáratkor készpénzt cserél eszközre, míg a vételi eszköz eszközzel vagy anélkül egyszerűen eszközt ad (nincs készpénz cserébe), a készpénz nélküli hívás pedig egyszerűen visszaadja a pénzt (nincs eszközcsere)). Az opció Black-Scholes képlete két tag különbsége, és ez a két tag megegyezik a bináris vételi opció értékével. Ezek a bináris opciók sokkal ritkábban kereskednek, mint a vanília opciók, de könnyebben elemezhetők.
A gyakorlatban egyes érzékenységi értékeket általában lerövidítenek, hogy illeszkedjenek a valószínű paraméterváltozások skálájához. Például gyakran szerepel az rho osztva 10 000-rel (változás 1 bázisponttal), a vega 100-zal (változás 1 térfogatponttal) és a théta 365-tel.vagy 252 (1 napos lehívás naptári napok vagy kereskedési napok alapján évente).
A fenti modell kiterjeszthető változó (de determinisztikus) árfolyamokra és volatilitásra. A modell felhasználható az osztalékfizetési eszközök európai opcióinak értékelésére is. Ebben az esetben zárt formájú megoldások állnak rendelkezésre, ha az osztalék a részvény árfolyamának ismert hányada. Az ismert készpénzes osztalékot fizető amerikai és részvényopciók (rövid távon reálisabb, mint az arányos osztalék) nehezebben értékelhetők, és többféle megoldási mód (pl. rácsok és rácsok) is elérhető.
Megközelítés
Hasznos közelítés: bár a volatilitás nem állandó, a modelleredmények gyakran segítenek a fedezet megfelelő arányban történő beállításában a kockázat minimalizálása érdekében. Még ha az eredmények nem is teljesen pontosak, első közelítésként szolgálnak, amelyen korrekciókat lehet végezni.
Alap a jobb modellekhez: A Black-Scholes modell robusztus abban az értelemben, hogy beállítható, hogy megbirkózzon egyes hibáival. Ahelyett, hogy egyes paramétereket (például a volatilitást vagy a kamatlábakat) konstansként kezelnénk, változóként kezeljük őket, és így kockázati forrásokat adunk hozzá.
Ez tükröződik a görögökben (az opció értékének megváltoztatása ezen paraméterek módosítása érdekében, vagy ezeknek a változóknak a részleges származékaival egyenértékű módosítása) és ezeknek a görögöknek a fedezésecsökkenti e paraméterek változó jellegéből adódó kockázatot. Más hibák azonban nem küszöbölhetők ki a modell megváltoztatásával, különösen a farokkockázat és a likviditási kockázat, hanem a modellen kívül kezelik, elsősorban ezeknek a kockázatoknak a minimalizálásával és stressztesztekkel.
Explicit modellezés
Explicit modellezés: Ez a funkció azt jelenti, hogy ahelyett, hogy előzetesen feltételeznénk a volatilitást és ebből kiszámolnánk az árakat, olyan modellt használhatunk a volatilitás meghatározására, amely megadja az opció implikált volatilitását adott árakon, időpontokban és kötési árakon. Ha a volatilitást a kötési időtartamok és árak adott halmaza alatt oldjuk meg, egy implikált volatilitási felület szerkeszthető.
A Black-Scholes modell ezen alkalmazásában a koordináták az árterületről a volatilitási területre transzformációt kapunk. Ahelyett, hogy az opciós árakat egységenkénti dollárban (amelyeket nehéz összehasonlítani a sztrájkok, időtartamok és kupongyakoriságok alapján) megadni, az opciós árakat az implikált volatilitás alapján lehet jegyezni, ami volatilitású kereskedéshez vezet az opciós piacokon.
