Bertrand paradoxona problémát jelent a valószínűségszámítás klasszikus értelmezésében. Joseph Calcul des probabilités (1889) című művében mutatta be annak példájaként, hogy a valószínűségeket nem lehet jól meghatározni, ha egy mechanizmus vagy módszer egy valószínűségi változót állít elő.
Problémanyilatkozat
Bertrand paradoxona a következő.
Először tekintsünk egy körbe írt egyenlő oldalú háromszöget. Ebben az esetben az átmérőt véletlenszerűen választják ki. Mennyi annak a valószínűsége, hogy hosszabb, mint a háromszög oldala?
Bertrand három érvet hozott fel, amelyek mindegyike helyesnek tűnik, de eltérő eredményeket ad.
Véletlenszerű végpont módszer
Ki kell választani két helyet a körön, és rajzolni kell egy ívet, amely összeköti őket. A számításhoz a Bertrand-féle valószínűségi paradoxont vettük figyelembe. El kell képzelni, hogy a háromszöget úgy forgatjuk el, hogy csúcsa egybeessen a húr egyik végpontjával. Megéri fizetnivegye figyelembe, hogy ha a másik rész két hely közötti íven van, akkor a kör hosszabb, mint a háromszög oldala. Az ív hossza a kör egyharmada, így annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerű húr hosszabb, 1/3.
Kiválasztási mód
Ki kell választani a kör sugarát és egy pontját rajta. Ezt követően egy akkordot kell építeni ezen a helyen, merőlegesen az átmérőre. A valószínűségszámítás Bertrand-féle paradoxonának kiszámításához el kell képzelni, hogy a háromszöget úgy forgatjuk el, hogy az oldala merőleges legyen a sugárra. Az akkord hosszabb, mint a láb, ha a kiválasztott pont közelebb van a kör középpontjához. És ebben az esetben a háromszög oldala felezi a sugarat. Ezért annak a valószínűsége, hogy az akkord hosszabb, mint a beírt ábra oldala, 1/2.
Véletlenszerű akkordok
Középpont módszer. Ki kell választani egy helyet a körön, és létre kell hozni egy akkordot egy adott középponttal. A tengely hosszabb, mint a beírt háromszög éle, ha a kiválasztott hely egy 1/2 sugarú koncentrikus körön belül van. A kisebb kör területe a nagyobb szám egynegyede. Ezért egy véletlenszerű húr valószínűsége hosszabb, mint a beírt háromszög oldala, és egyenlő 1/4.
Amint fentebb bemutattuk, a kiválasztási módszerek különböznek attól, hogy milyen súlyt adnak bizonyos húroknak, amelyek átmérők. Az 1. módszerben minden húr pontosan egyféleképpen választható ki, függetlenül attól, hogy átmérőről van szó, vagy sem.
A 2. módszerben minden egyenes kétféleképpen választható ki. Míg bármely más akkord kerül kiválasztásracsak az egyik lehetőség.
A 3. módszerben minden felezőpont-kiválasztás egyetlen paraméterrel rendelkezik. Kivéve a kör középpontját, amely az összes átmérő felezőpontja. Ezek a problémák elkerülhetők, ha az összes kérdést úgy "rendelik", hogy kizárják a paramétereket anélkül, hogy befolyásolnák az eredő valószínűségeket.
A kiválasztott módszerek az alábbiak szerint is megjeleníthetők. A nem átmérőjű húrt egyértelműen a felezőpontja azonosítja. A fent bemutatott három kiválasztási módszer mindegyike eltérő eloszlást eredményez a középen. Az 1. és 2. lehetőség pedig két különböző nem egységes partíciót biztosít, míg a 3. módszer egyenletes eloszlást ad.
A Bertrand-probléma megoldásának klasszikus paradoxona attól függ, hogy milyen módszerrel választják ki az akkordot "véletlenszerűen". Kiderül, hogy ha előre meghatározunk egy véletlenszerű kiválasztási módszert, akkor a problémának van egy jól meghatározott megoldása. Ennek az az oka, hogy minden egyes módszernek megvan a maga akkordeloszlása. A Bertrand által bemutatott három döntés különböző kiválasztási módoknak felel meg, és további információk hiányában nincs ok az egyiket a másikkal szemben előnyben részesíteni. Ennek megfelelően a feltett problémának nincs egyetlen megoldása.
Példa arra, hogyan lehet egy általános választ egyedivé tenni, ha meg kell adni, hogy az akkord végpontjai egyenlő távolságra legyenek 0 és c között, ahol c a kör kerülete. Ez az eloszlás ugyanaz, mint Bertrand első argumentumában, és az így kapott egyedi valószínűség 1/3 lesz.
Ez a Bertrand Russell-paradoxon és a klasszikus zene egyéb egyediségeilehetőségértelmezések szigorúbb megfogalmazásokat indokolnak. Beleértve a valószínűségi gyakoriságot és a szubjektivista Bayes-elméletet.
Mi áll Bertrand paradoxonának hátterében?
Edwin Jaynes 1973-ban megjelent „A jól feltett probléma” című cikkében egyedülálló megoldást kínált. Megjegyezte, hogy Bertrand paradoxona a „maximális tudatlanság” elvén nyugvó premisszán alapul. Ez azt jelenti, hogy ne használjon fel olyan információt, amely nem szerepel a problémanyilatkozatban. Jaynes rámutatott, hogy Bertrand problémája nem határozza meg a kör helyzetét vagy méretét. És azzal érvelt, hogy ezért minden határozott és objektív döntésnek „közömbösnek” kell lennie a méret és a pozíció tekintetében.
Illusztráció céljából
Feltéve, hogy az összes akkord véletlenszerűen van elhelyezve egy 2 cm-es körön, most már messziről kell szívószálat dobni rá.
Ezután vegyen egy másik, kisebb átmérőjű (például 1 centiméteres) kört, amely belefér egy nagyobb figurába. Ekkor az akkordok eloszlása ezen a kisebb körön legyen ugyanolyan, mint a maximumon. Ha a második figura is az elsőben mozog, a valószínűség elvileg nem változhat. Nagyon könnyen belátható, hogy a 3. módszernél a következő változás következik be: az akkordok eloszlása a kis piros körön minőségileg el fog térni a nagy körön lévőtől.
Ugyanez történik az 1. módszerrel is. Bár a grafikus nézetben nehezebb látni.
A 2. módszer az egyetlenamelyről kiderül, hogy egy skála és egy fordítási invariáns is.
A 3. számú módszer egyszerűen bővíthetőnek tűnik.
Az 1. módszer egyik sem.
Janes azonban nem használta könnyen az invariánsokat ezeknek a módszereknek az elfogadására vagy elutasítására. Ez meghagyná annak lehetőségét, hogy van egy másik le nem írt módszer, amely illeszkedik az ésszerű jelentés szempontjaihoz. Jaynes integrál egyenleteket alkalmazott az invarianciákat leíró. A valószínűségi eloszlás közvetlen meghatározására. Az ő feladatában az integrálegyenleteknek valóban van egyedi megoldásuk, és pontosan ezt nevezték fent a második véletlensugár-módszernek.
Egy 2015-ös tanulmányában Alon Drory azzal érvel, hogy Jaynes elve két másik Bertrand-megoldást is eredményezhet. A szerző biztosítja, hogy az invariancia fenti tulajdonságainak matematikai megvalósítása nem egyedi, hanem attól függ, hogy milyen alapvető véletlenszerű kiválasztási eljárást választ egy személy. Megmutatja, hogy a három Bertrand-megoldás mindegyike elérhető rotációs, skálázási és transzlációs invarianciával. Ugyanakkor arra a következtetésre jutva, hogy a Jaynes-elv éppúgy értelmezhető, mint maga a közömbösség módja.
Fizikai kísérletek
A 2. módszer az egyetlen megoldás, amely kielégíti azokat a transzformációs invariánsokat, amelyek jelen vannak bizonyos fiziológiai fogalmakban, például a statisztikai mechanikában és a gázszerkezetben. A javasoltban isJanes kísérlete a szívószálak kis körből történő dobálására.
Azonban más gyakorlati kísérletek is tervezhetők, amelyek más módszerek szerint adnak választ. Például az első véletlenszerű végpont módszer megoldásához csatolhat egy számlálót a terület közepére. És két független forgatás eredménye emelje ki az akkord végső helyeit. A harmadik módszer megoldásához például melasszal lefedhetjük a kört, és középső akkordként megjelölhetjük az első pontot, amelyre a légy leszáll. Számos kontemplátor készített tanulmányokat különböző következtetések levonására, és empirikusan megerősítette az eredményeket.
Legfrissebb események
A Bertrand-paradoxon és a közömbösség elve című 2007-es cikkében Nicholas Shackel azzal érvel, hogy több mint egy évszázaddal később a probléma továbbra is megoldatlan. A továbbiakban megcáfolja a közömbösség elvét. Továbbá Darrell R. Robottom 2013-as tanulmányában, „A Bertrand Russell Paradox Revisited: Why All Solutions Are Not Practical” (A Bertrand Russell Paradox Revisited: Why All Solutions Are Not Practical) című 2013-as cikkében bemutatja, hogy az összes javasolt ítéletnek semmi köze a saját kérdéséhez. Így kiderült, hogy a paradoxont sokkal nehezebb lesz megoldani, mint azt korábban gondolták.
Shackel hangsúlyozza, hogy eddig sok tudós és a tudománytól távol álló ember próbálta feloldani Bertrand paradoxonát. Még mindig két különböző megközelítés segítségével lehet legyőzni.
Azok, amelyekben figyelembe vették a nem egyenértékű problémák közötti különbséget, és azokat, amelyekben a problémát mindig helyesnek tekintették. Shackel idézi Louist a könyveibenMarinoff (mint a megkülönböztetés stratégiájának tipikus képviselője) és Edwin Jaynes (mint egy jól átgondolt elmélet szerzője).
Azonban Diederik Aerts és Massimiliano Sassoli de Bianchi legutóbbi, Összetett probléma megoldása című munkájában úgy vélik, hogy a Bertrand-paradoxon megoldásához vegyes stratégiában kell keresni a premisszákat. E szerzők szerint az első lépés a probléma megoldása a véletlenszerűsítendő entitás természetének világos megfogalmazásával. És csak miután ez megtörtént, bármilyen probléma tekinthető helyesnek. Janes ezt gondolja.
Tehát a maximális tudatlanság elve használható a megoldásra. Ennek érdekében, és mivel a probléma nem határozza meg, hogyan válasszuk ki az akkordot, az elvet nem a különféle lehetőségek szintjén alkalmazzuk, hanem sokkal mélyebben.
Alkatrészek kiválasztása
A probléma ezen része megköveteli a metaátlag kiszámítását minden lehetséges módon, amit a szerzők univerzális átlagnak neveznek. Ennek kezelésére a diszkretizációs módszert alkalmazzák. Az ihlette, amit a Wiener-folyamatok valószínűségi törvényének meghatározása során tesznek. Eredményük összhangban van Jaynes numerikus következményével, bár jól felvetett problémájuk eltér az eredeti szerző problémájától.
A közgazdaságtanban és a kereskedelemben a Bertrand-paradoxon, amelyet alkotójáról, Joseph Bertrandról neveztek el, olyan helyzetet ír le, amelyben két szereplő (cég) eléri a Nash-egyensúlyt. Amikor mindkét cég a határköltséggel egyenlő árat határoz meg(MS).
Bertrand paradoxona egy előfeltevésen alapul. Ez abban rejlik, hogy az olyan modellekben, mint a Cournot-verseny, a cégek számának növekedése az árak és a határköltségek konvergenciájával jár. Ezekben az alternatív modellekben a Bertrand-féle paradoxon néhány olyan vállalat oligopóliumában rejlik, amelyek pozitív profitot termelnek azáltal, hogy költség feletti árakat számítanak fel.
Először is érdemes feltételezni, hogy két A és B cég egy homogén terméket értékesít, amelyek előállítási és forgalmazási költsége azonos. Ebből következik, hogy a vásárlók kizárólag az ár alapján választanak terméket. Ez azt jelenti, hogy a kereslet végtelenül árrugalmas. Sem A, sem B nem határoz meg magasabb árat, mint a többi, mert az az egész Bertrand-paradoxon összeomlását okozná. Az egyik piaci szereplő enged a versenytársának. Ha ugyanazt az árat határozzák meg, a vállalatok megosztják a nyereséget.
Másrészt, ha bármely cég csak kis mértékben is csökkenti az árát, akkor az egész piacot megkapja, és lényegesen magasabb hozamot kap. Mivel A és B tudja ezt, mindaddig megpróbálnak alákínálni a versenytársat, amíg a terméket nulla gazdasági haszonnal nem értékesítik.
A közelmúltban végzett munka kimutatta, hogy a Bertrand-féle vegyes stratégiai paradoxonban további egyensúly lehet pozitív gazdasági haszonnal, feltéve, hogy a monopólium végtelen. A végső nyereség esetében kimutatták, hogy az árverseny mellett pozitív növekedés nem lehetséges vegyes egyensúlyban, sőt általánosabb esetben sem.korrelált rendszerek.
Valójában a Bertrand-féle közgazdasági paradoxon ritkán látható a gyakorlatban, mert a valódi termékeket szinte mindig az ártól eltérő módon különböztetik meg (például túlfizetés egy címkéért). A cégek termelési és forgalmazási képességei korlátozottak. Ez az oka annak, hogy két vállalkozásnak ritkán ugyanazok a költségei.
Bertrand eredménye paradox, mert ha a cégek száma egyről kettőre növekszik, akkor az ár monopóliumból versenyképessé csökken, és ugyanazon a szinten marad, mint az ezt követően növekvő cégek száma. Ez nem túl reális, mert a valóságban azokon a piacokon, ahol kevés a piaci erővel rendelkező cég, általában a határköltség feletti árakat kérik. Az empirikus elemzés azt mutatja, hogy a két versenytárssal rendelkező iparágak többsége pozitív profitot termel.
A modern világban a tudósok olyan megoldásokat próbálnak találni a paradoxonra, amelyek jobban megfelelnek a verseny Cournot-modelljének. Ahol két cég egy piacon pozitív profitot termel, amely valahol a tökéletes verseny és a monopólium szintje között van.
Néhány ok, amiért Bertrand paradoxona nem kapcsolódik közvetlenül a közgazdaságtanhoz:
- Kapacitáskorlátok. Néha a cégek nem rendelkeznek elegendő kapacitással az összes kereslet kielégítésére. Ezt a kérdést először Francis Edgeworth vetette fel, és ennek eredményeként született meg a Bertrand-Edgeworth modell.
- Integer árak. Az MC feletti árak nem tartoznak ide, mert az egyik cég véletlenszerűen alákínálhat egy másikat.egy kis mennyiséget. Ha az árak diszkrétek (például egész számokat kell venniük), akkor az egyik cégnek legalább egy rubel alá kell kínálnia a másikat. Ez azt jelenti, hogy a kisvaluta értéke meghaladja az MC-t. Ha egy másik cég magasabbra szabja meg az árat, akkor egy másik cég csökkentheti azt, és elfoglalhatja a teljes piacot, Bertrand paradoxona éppen ebben áll. Nem hoz neki semmi hasznot. Ez a vállalkozás inkább megosztja eladásait 50/50 arányban egy másik céggel, és pusztán pozitív bevételt kap.
- Termékdifferenciálás. Ha a különböző cégek termékei eltérnek egymástól, akkor előfordulhat, hogy a fogyasztók nem váltanak át teljesen az alacsonyabb árú termékekre.
- Dinamikus verseny. Az ismételt interakció vagy az ismétlődő árverseny értékegyensúlyhoz vezethet.
- Több tétel magasabb összegért. Ez az ismételt interakcióból következik. Ha egy cég kicsit magasabbra határozza meg az árat, akkor is nagyjából ugyanannyi vásárlást kap, de cikkenként több profitot. Ezért a másik cég növeli a felárat stb. (Csak újrajátszáskor, különben a dinamika a másik irányba megy).
Oligopólium
Ha két cég meg tud állapodni az árban, hosszú távú érdekükben áll a megállapodás betartása: az értékcsökkentésből származó bevétel kevesebb, mint kétszerese a megállapodás betartásából származó bevételnek, és csak addig tart, amíg a másik cég nem csökkenti az árát. saját árak.
Elméleta valószínűségek (mint a matematika többi része) valójában egy újabb találmány. A fejlődés pedig nem volt zökkenőmentes. A valószínűségszámítás formalizálására először de Laplace márki tett kísérletet, aki azt javasolta, hogy a fogalmat az eredményhez vezető események számának arányaként határozzák meg.
Ennek persze csak akkor van értelme, ha az összes lehetséges esemény száma véges. Ráadásul minden esemény egyformán valószínű.
Így akkoriban úgy tűnt, hogy ezeknek a koncepcióknak nincs szilárd alapjuk. A definíció végtelen számú esemény esetére való kiterjesztésére tett kísérletek még nagyobb nehézségekhez vezettek. Bertrand paradoxona az egyik ilyen felfedezés, amely a matematikusokat óvatossá tette a valószínűség egész fogalmával szemben.
