A testek forgása a technika és a természet mechanikai mozgásának egyik fontos típusa. A lineáris mozgástól eltérően saját kinematikai jellemzői írják le. Az egyik a szöggyorsulás. Ezt az értéket a cikkben jellemezzük.
Forgó mozgás
Mielőtt a szöggyorsulásról beszélnénk, írjuk le a mozgás típusát, amelyre vonatkozik. Forgásról beszélünk, ami a testek körkörös pályákon való mozgása. Az elforgatáshoz bizonyos feltételeknek teljesülniük kell:
- egy tengely vagy forgáspont jelenléte;
- egy centripetális erő jelenléte, amely a testet körpályán tartaná.
Példák erre a fajta mozgásra különféle látnivalók, például egy körhinta. A gépészetben a forgás a kerekek és tengelyek mozgásában nyilvánul meg. A természetben az ilyen típusú mozgások legszembetűnőbb példája a bolygók saját tengelyük és a Nap körüli forgása. A centripetális erő szerepét ezekben a példákban a szilárd testekben lévő interatomikus kölcsönhatás és a gravitációs erők játsszák.interakció.
A forgás kinematikai jellemzői
Ezek a jellemzők három mennyiséget tartalmaznak: szöggyorsulás, szögsebesség és forgásszög. Jelöljük őket a görög α, ω és θ szimbólumokkal.
Mivel a test körben mozog, célszerű kiszámítani azt a θ szöget, amelyet egy bizonyos időn belül elforgat. Ezt a szöget radiánban fejezik ki (ritkán fokban). Mivel a körnek 2 × pi radiánja van, felírhatunk egy egyenletet, amely θ-nak a fordulat L ívhosszához kapcsolódik:
L=θ × r
Ahol r a forgási sugár. Ezt a képletet könnyű megszerezni, ha emlékszel a kerület megfelelő kifejezésére.
Az ω szögsebesség, akárcsak lineáris megfelelője, a tengely körüli forgási sebességet írja le, vagyis a következő kifejezés szerint határozzuk meg:
ω¯=d θ / d t
Az ω¯ mennyiség vektorérték. A forgástengely mentén irányul. Mértékegysége radián per másodperc (rad/s).
Végül a szöggyorsulás egy fizikai jellemző, amely meghatározza az ω¯ értékének változási sebességét, amelyet matematikailag a következőképpen írunk le:
α¯=d ω¯/ d t
Az α¯ vektor az ω¯ sebességvektor megváltoztatására irányul. Továbbá azt mondjuk, hogy a szöggyorsulás az erőnyomaték vektora felé irányul. Ezt az értéket radiánban mérik.négyzetmásodperc (rad/s2).
Az erő és a gyorsulás pillanata
Ha felidézzük Newton törvényét, amely az erőt és a lineáris gyorsulást egyetlen egyenlőséggé köti, akkor ezt a törvényt átvisszük a forgás esetére, a következő kifejezést írhatjuk:
M¯=I × α¯
Itt M¯ az erőnyomaték, amely annak az erőnek a szorzata, amely a rendszert forgatni hajlamos, szorozva a karral – az erőkifejtési pont és a tengely távolságával. Az I érték analóg a test tömegével, és tehetetlenségi nyomatéknak nevezzük. Az írott képletet a pillanatok egyenletének nevezzük. Ebből a szöggyorsulás a következőképpen számítható ki:
α¯=M¯/ I
Mivel I skalár, α¯ mindig az M¯ ható nyomatékra irányul. Az M¯ irányát a jobbkéz-szabály vagy a karikaszabály határozza meg. Az M¯ és α¯ vektorok merőlegesek a forgási síkra. Minél nagyobb a test tehetetlenségi nyomatéka, annál kisebb a szöggyorsulás értéke, amelyet az M¯ rögzített nyomaték kölcsönözhet a rendszernek.
Kinematikai egyenletek
Hogy megértsük a szöggyorsulás fontos szerepét a forgás mozgásának leírásában, írjuk fel a fent vizsgált kinematikai mennyiségeket összekötő képleteket.
Egyenletesen gyorsított forgatás esetén a következő matematikai összefüggések érvényesek:
ω=α × t;
θ=α × t2 / 2
Az első képlet azt mutatja, hogy a szöga sebesség egy lineáris törvény szerint nő az időben. A második kifejezés lehetővé teszi, hogy kiszámítsa azt a szöget, amellyel a test elfordul egy ismert t idő alatt. A θ(t) függvény grafikonja egy parabola. Mindkét esetben a szöggyorsulás állandó.
Ha a cikk elején megadott L és θ közötti relációs képletet használjuk, akkor α-ra egy kifejezést kaphatunk lineáris gyorsulásként a:
α=a / r
Ha α állandó, akkor az r forgástengelytől való távolság növekedésével az a lineáris gyorsulás arányosan nő. Ezért a szögkarakterisztikát használjuk az elforgatáshoz, ellentétben a lineáris karakterisztikával, ezek nem változnak az r növekedésével vagy csökkenésével.
Példaprobléma
A 2000 fordulat/másodperc sebességgel forgó fémtengely lassulni kezdett, és 1 perc múlva teljesen leállt. Ki kell számolni, hogy milyen szöggyorsulással ment végbe a tengely lassulási folyamata. Azt is ki kell számítania, hogy a tengely hány fordulatot tett meg a leállás előtt.
A forgás lassításának folyamatát a következő kifejezés írja le:
ω=ω0- α × t
A ω0 kezdeti szögsebességet az f forgási frekvenciából határozzuk meg a következőképpen:
ω0=2 × pi × f
Mivel ismerjük a lassulási időt, így megkapjuk a gyorsulási értéket α:
α=ω0 / t=2 × pi × f / t=209,33 rad/s2
Ezt a számot mínuszjellel kell venni,mert a rendszer lassításáról beszélünk, nem pedig felgyorsításáról.
A tengely fékezés közbeni fordulatszámának meghatározásához használja a következő kifejezést:
θ=ω0 × t - α × t2 / 2=376 806 rad.
A θ elfordulási szög radiánban kifejezett értékét egyszerűen átváltjuk a tengely által a teljes leállás előtt megtett fordulatok számává, egyszerűen 2 × pi-vel osztva:
n=θ / (2 × pi)=60 001 fordulat.
Így minden választ megkaptunk a feladat kérdéseire: α=-209, 33 rad/s2, n=60 001 fordulat.
