Matematikai ingának nevezzük azt a mechanikai rendszert, amely egy nyújthatatlan súlytalan szálon függő anyagi pontból (testből) áll (a tömege a test súlyához képest elhanyagolható) egyenletes gravitációs térben. egy oszcillátor). Ennek az eszköznek más típusai is vannak. Menet helyett súlytalan rúd használható. A matematikai inga sok érdekes jelenség lényegét világosan feltárhatja. Kis amplitúdójú rezgés esetén a mozgását harmonikusnak nevezik.
Mechanikai rendszer áttekintése
Az inga lengési periódusának képletét Huygens (1629-1695) holland tudós származtatta. I. Newton kortársa nagyon szerette ezt a mechanikus rendszert. 1656-ban megalkotta az első ingaórát. Kivételesen mérték az időtazoknak az időknek a pontosságáért. Ez a találmány jelentős mérföldkővé vált a fizikai kísérletek és gyakorlati tevékenységek fejlesztésében.
Ha az inga egyensúlyban van (függőlegesen lóg), akkor a gravitációs erőt kiegyenlíti a menetfeszítő erő. A nyújthatatlan meneten lévő lapos inga két szabadságfokú rendszer, kapcsolattal. Ha csak egy alkatrészt cserél, annak minden alkatrészének jellemzői megváltoznak. Tehát, ha a menetet egy rúd helyettesíti, akkor ennek a mechanikus rendszernek csak 1 szabadságfoka lesz. Melyek a matematikai inga tulajdonságai? Ebben a legegyszerűbb rendszerben a káosz időszakos perturbáció hatására keletkezik. Abban az esetben, ha a felfüggesztési pont nem mozog, hanem oszcillál, az inga új egyensúlyi helyzetet kap. A gyors fel-le oszcillációkkal ez a mechanikus rendszer stabil fejjel lefelé helyzetet kap. Saját neve is van. Kapitza ingának hívják.
Inga tulajdonságai
A matematikai ingának nagyon érdekes tulajdonságai vannak. Mindegyiket megerősítik az ismert fizikai törvények. Bármely más inga lengési ideje különböző körülményektől függ, például a test méretétől és alakjától, a felfüggesztési pont és a súlypont távolságától, a tömegnek ehhez a ponthoz viszonyított eloszlásától. Éppen ezért a lógó test időtartamának meghatározása meglehetősen nehéz feladat. Sokkal könnyebb kiszámítani egy matematikai inga periódusát, amelynek képlete az alábbiakban lesz megadva. A hasonló megfigyelések eredményekéntA mechanikus rendszerek a következő mintákat képesek létrehozni:
• Ha az inga azonos hosszának megtartása mellett különböző súlyokat akasztunk fel, akkor ezek lengésének periódusa azonos lesz, bár tömegük nagymértékben változik. Ezért egy ilyen inga periódusa nem függ a terhelés tömegétől.
• A rendszer indításakor, ha az ingát nem túl nagy, hanem különböző szögekkel eltérítjük, akkor az azonos periódusú, de eltérő amplitúdójú oszcillációba kezd. Amíg az egyensúlyi középponttól való eltérések nem túl nagyok, addig az oszcillációk formájukban meglehetősen közel állnak a harmonikusokhoz. Egy ilyen inga periódusa semmilyen módon nem függ az oszcillációs amplitúdótól. Ennek a mechanikai rendszernek ezt a tulajdonságát izokronizmusnak nevezik (a görög "chronos" - idő, "isos" - egyenlő szóból fordítva).
A matematikai inga periódusa
Ez a mutató a természetes rezgések időszakát jelzi. A bonyolult megfogalmazás ellenére maga a folyamat nagyon egyszerű. Ha egy matematikai inga menetének hossza L, és a szabadesés gyorsulása g, akkor ez az érték:
T=2π√L/g
A kis természetes rezgések periódusa semmilyen módon nem függ az inga tömegétől és az oszcillációk amplitúdójától. Ebben az esetben az inga úgy mozog, mint egy csökkentett hosszúságú matematikai inga.
A matematikai inga kilengései
Egy matematikai inga oszcillál, ami egy egyszerű differenciálegyenlettel írható le:
x + ω2 sin x=0, ahol x (t) egy ismeretlen függvény (ez az alsótól való eltérés szögeegyensúlyi helyzet t időpontban, radiánban kifejezve); ω egy pozitív állandó, amelyet az inga paramétereiből határozunk meg (ω=√g/L, ahol g a szabadesési gyorsulás, L pedig a matematikai inga (felfüggesztés) hossza).
Az egyensúlyi helyzethez közeli kis ingadozások egyenlete (harmonikus egyenlet) így néz ki:
x + ω2 sin x=0
Az inga lengő mozgásai
Egy matematikai inga, amely kis oszcillációkat hoz létre egy szinuszos mentén. A másodrendű differenciálegyenlet egy ilyen mozgás minden követelményének és paraméterének megfelel. A pálya meghatározásához meg kell adni a sebességet és a koordinátát, amelyekből független állandókat határoznak meg:
x=bűn (θ0 + ωt), ahol θ0 a kezdeti fázis, A az oszcillációs amplitúdó, ω a mozgásegyenletből meghatározott ciklikus frekvencia.
Matematikai inga (nagy amplitúdók képlete)
Ez a mechanikai rendszer, amely jelentős amplitúdójú rezgéseket hajt végre, bonyolultabb mozgástörvényeknek engedelmeskedik. Egy ilyen inga esetében a következő képlettel számítják ki:
sin x/2=usn(ωt/u), ahol sn a Jacobi-szinusz, amely u < 1 esetén egy periodikus függvény, kis u esetén pedig egy egyszerű trigonometrikus szinuszos. Az u értékét a következő kifejezés határozza meg:
u=(ε + ω2)/2ω2, ahol ε=E/mL2 (mL2 az inga energiája).
Nemlineáris inga lengési periódusának meghatározásaa következő képlet szerint hajtjuk végre:
T=2π/Ω, ahol Ω=π/2ω/2K(u), K az elliptikus integrál, π - 3, 14.
Az inga mozgása az elválasztó mentén
A szeparatrix egy dinamikus rendszer pályája kétdimenziós fázistérrel. A matematikai inga nem periodikusan mozog rajta. Egy végtelenül távoli pillanatban a szélső felső helyzetből nulla sebességgel oldalra esik, majd fokozatosan felveszi. Végül megáll, és visszatér eredeti helyzetébe.
Ha az inga rezgésének amplitúdója megközelíti a π számot, ez azt jelzi, hogy a fázissíkon a mozgás közeledik a szeparatrixhoz. Ebben az esetben kis hajtóerő hatására a mechanikai rendszer kaotikus viselkedést mutat.
Amikor a matematikai inga egy bizonyos φ szöggel eltér az egyensúlyi helyzetétől, Fτ=–mg sin φ tangenciális gravitációs erő lép fel. A mínusz jel azt jelenti, hogy ez a tangenciális komponens az inga eltérítésével ellentétes irányba van irányítva. Ha az inga elmozdulását egy L sugarú kör íve mentén x-szel jelöljük, akkor az inga szögelmozdulása egyenlő φ=x/L. Isaac Newton második törvénye, amelyet a gyorsulásvektor és az erő vetületére terveztek, megadja a kívánt értéket:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
Ennek az aránynak az alapján egyértelmű, hogy ez az inga nemlineáris rendszer, mivel a visszatérni akaró erőaz egyensúlyi helyzethez, mindig nem az x elmozdulással, hanem az x/L sinnel arányos.
Csak ha a matematikai inga kis oszcillációt okoz, akkor harmonikus oszcillátor. Más szóval, harmonikus rezgések végrehajtására képes mechanikus rendszerré válik. Ez a közelítés gyakorlatilag 15-20°-os szögekre érvényes. A nagy amplitúdójú ingarezgés nem harmonikus.
Newton-törvény az inga kis oszcillációira
Ha ez a mechanikus rendszer kis rezgéseket hajt végre, Newton 2. törvénye így fog kinézni:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
Ez alapján megállapíthatjuk, hogy a matematikai inga érintőleges gyorsulása mínusz előjellel arányos az elmozdulásával. Ez az a feltétel, ami miatt a rendszer harmonikus oszcillátorrá válik. Az elmozdulás és a gyorsulás közötti arányos erősítés modulusa egyenlő a körfrekvencia négyzetével:
ω02=g/L; ω0=√ g/L.
Ez a képlet tükrözi az ilyen típusú inga kis oszcillációinak természetes frekvenciáját. Ez alapján
T=2π/ ω0=2π√ g/L.
Számítások az energiamegmaradás törvénye alapján
Az inga lengőmozgásának tulajdonságait az energiamegmaradás törvényével is le lehet írni. Ebben az esetben figyelembe kell venni, hogy az inga potenciális energiája a gravitációs térben:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Teljes mechanikai energiaegyenlő kinetikai vagy maximális potenciállal: Epmax=Ekmsx=E
Az energiamegmaradás törvényének felírása után vegyük az egyenlet jobb és bal oldalának deriváltját:
Ep + Ek=const
Mivel a konstans értékek deriváltja 0, akkor (Ep + Ek)'=0. Az összeg deriváltja egyenlő a deriváltak összegével:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, tehát:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Az utolsó képlet alapján a következőt kapjuk: α=- g/Lx.
A matematikai inga gyakorlati alkalmazása
A szabadesés gyorsulása a földrajzi szélesség függvényében változik, mivel a földkéreg sűrűsége az egész bolygón nem azonos. Ahol nagyobb sűrűségű kőzetek fordulnak elő, az valamivel magasabb lesz. A matematikai inga gyorsulását gyakran használják geológiai feltáráshoz. Különféle ásványok keresésére szolgál. Egyszerűen az inga lengéseinek megszámlálásával szenet vagy ércet találhat a Föld belsejében. Ez annak a ténynek köszönhető, hogy az ilyen kövületek sűrűsége és tömege nagyobb, mint az alattuk lévő laza kőzetek.
A matematikai ingát olyan kiemelkedő tudósok használták, mint Szókratész, Arisztotelész, Platón, Plutarkhosz, Arkhimédész. Sokan közülük úgy vélték, hogy ez a mechanikus rendszer befolyásolhatja az ember sorsát és életét. Arkhimédész matematikai ingát használt számításai során. Manapság sok okkultista és médiumhasználja ezt a mechanikus rendszert próféciáik beteljesítésére vagy eltűnt emberek felkutatására.
A híres francia csillagász és természettudós, K. Flammarion szintén matematikai ingát használt kutatásaihoz. Azt állította, hogy segítségével meg tudta jósolni egy új bolygó felfedezését, a Tunguska meteorit megjelenését és más fontos eseményeket. A második világháború idején Németországban (Berlinben) egy speciális Ingaintézet működött. Ma a müncheni parapszichológiai intézet is hasonló kutatásokkal foglalkozik. Az intézmény dolgozói „radiesztéziának” nevezik az ingával végzett munkájukat.
