Valószínűleg a származékos fogalma mindannyiunk számára ismerős már iskolás korunk óta. Általában a diákok nehezen értik meg ezt a kétségtelenül nagyon fontos dolgot. Aktívan használják az emberek életének különböző területein, és sok mérnöki fejlesztés pontosan a derivált segítségével kapott matematikai számításokon alapult. Mielőtt azonban rátérnénk annak elemzésére, hogy mik a számok deriváltjai, hogyan számítsuk ki őket, és hol hasznosak számunkra, ugorjunk bele a történelembe.
Előzmények
A derivált fogalmát, amely a matematikai elemzés alapja, Isaac Newton fedezte fel (jobb lenne azt mondani, hogy "feltalálták", mert a természetben mint olyan nem létezett) Isaac Newton, akit mindannyian ismerünk. az egyetemes gravitáció törvényének felfedezésétől. Ő volt az, aki először alkalmazta ezt a fogalmat a fizikában, hogy összekapcsolja a testek sebességének és gyorsulásának természetét. És sok tudós még mindig dicséri Newtont ezért a csodálatos találmányért, mert valójában ő találta fel a differenciál- és integrálszámítás alapját, valójában a matematika egy egész területét, amelyet "számításnak" neveznek. Ha annak idején a Nobel-díjat, Newton nagy valószínűséggel többször is megkapta volna.
Más nagyszerű elmék nélkül. Kivéve Newtontolyan kiemelkedő matematikai zsenik, mint Leonhard Euler, Louis Lagrange és Gottfried Leibniz dolgoztak a derivált és integrál fejlesztésén. Nekik köszönhető, hogy a differenciálszámítás elméletét abban a formában kaptuk meg, ahogyan a mai napig létezik. Egyébként Leibniz fedezte fel a derivált geometriai jelentését, amelyről kiderült, hogy nem más, mint a függvény grafikonjának érintője meredekségének érintője.
Mik azok a számok deriváltjai? Ismételjük el egy kicsit, min mentünk keresztül az iskolában.
Mi az a származék?
Ez a fogalom többféleképpen definiálható. A legegyszerűbb magyarázat az, hogy a derivált a függvény változási sebessége. Képzeljünk el x valamilyen y függvényének grafikonját. Ha nem egyenes, akkor van néhány görbe a grafikonon, növekedési és csökkenési periódusok. Ha ennek a gráfnak valamilyen végtelenül kicsi intervallumát veszünk, akkor ez egy egyenes szakasz lesz. Tehát ennek a végtelenül kis szegmensnek az y koordináta mentén mért méretének és az x koordináta menti méretének az aránya lesz ennek a függvénynek a deriváltja egy adott pontban. Ha a függvényt egészként tekintjük, és nem egy adott ponton, akkor derivált függvényt kapunk, vagyis y bizonyos függését x-től.
A derivált fizikai jelentése mellett, mint egy függvény változási sebessége, van egy geometriai jelentése is. Most beszélünk róla.
Geometriai érzék
Maguk a számok származékai egy bizonyos számot képviselnek, amely megfelelő megértés nélkül nem hordoznincs értelme. Kiderül, hogy a derivált nemcsak a függvény növekedésének vagy csökkenésének ütemét mutatja, hanem azt is, hogy az érintő meredeksége mekkora a függvény grafikonjához egy adott pontban. Nem túl világos meghatározás. Elemezzük részletesebben. Tegyük fel, hogy van egy függvény grafikonja (érdeklődésképpen vegyünk egy görbét). Végtelen számú pontja van, de vannak olyan területek, ahol csak egyetlen pontnak van maximuma vagy minimuma. Bármely ilyen ponton keresztül meg lehet húzni egy egyenest, amely merőleges lenne a függvény grafikonjára az adott pontban. Az ilyen vonalat érintőnek nevezzük. Tegyük fel, hogy az OX tengellyel való metszéspontig költöttük el. Tehát az érintő és az OX tengely közötti szöget a derivált határozza meg. Pontosabban ennek a szögnek az érintője egyenlő lesz vele.
Beszéljünk egy kicsit a speciális esetekről, és elemezzük a számok deriváltjait.
Különleges esetek
Amint már mondtuk, a számok deriváltjai a derivált értékei egy adott pontban. Vegyük például az y=x2 függvényt. Az x derivált egy szám, általános esetben pedig egy 2x-szel egyenlő függvény. Ha ki kell számítanunk a deriváltot mondjuk az x0=1 pontban, akkor azt kapjuk, hogy y'(1)=21=2. Minden nagyon egyszerű. Érdekes eset egy komplex szám deriváltja. Nem megyünk bele annak részletes magyarázatába, hogy mi az a komplex szám. Tegyük fel, hogy ez egy olyan szám, amely tartalmazza az úgynevezett képzeletbeli egységet – egy olyan számot, amelynek négyzete -1. Egy ilyen származék kiszámítása csak akkor lehetséges, ha a következőfeltételek:
1) A valós és képzetes részek elsőrendű parciális deriváltjainak kell lenniük Y és X tekintetében.
2) Az első bekezdésben leírt parciális deriváltak egyenlőségéhez kapcsolódó Cauchy-Riemann-feltételek teljesülnek.
Egy másik érdekes eset, bár nem olyan bonyolult, mint az előző, egy negatív szám származéka. Valójában bármely negatív szám ábrázolható pozitív számként, szorozva -1-gyel. Nos, az állandó és a függvény deriváltja egyenlő a konstans és a függvény deriváltjának szorzatával.
Érdekes lesz megismerni a származékok mindennapi életben betöltött szerepét, és most erről fogunk beszélni.
Alkalmazás
Valószínűleg mindannyian életében legalább egyszer azon kapkodjuk, hogy a matematika valószínűleg nem lesz hasznos számára. És egy ilyen bonyolult dolognak, mint a származéknak, valószínűleg nincs alkalmazása. Valójában a matematika alapvető tudomány, és minden gyümölcsét főleg a fizika, a kémia, a csillagászat, sőt a közgazdaságtan fejleszti. A derivált volt a matematikai elemzés kezdete, amely lehetőséget adott arra, hogy a függvények grafikonjaiból következtetéseket vonjunk le, és megtanultuk értelmezni a természet törvényeit, és ennek köszönhetően a javunkra fordítani.
Következtetés
Természetesen nem mindenkinek van szüksége származékra a való életben. De a matematika fejleszti a logikát, amire minden bizonnyal szükség lesz. Nem véletlenül nevezik a matematikát a tudományok királynőjének: ez képezi az alapot a tudás más területeinek megértéséhez.
