Georg Kantor (a fotó a cikkben később található) egy német matematikus, aki megalkotta a halmazelméletet, és bevezette a végtelenül nagy, de egymástól eltérő transzfinit számok fogalmát. Meghatározta a sorszámokat és a bíborszámokat is, és létrehozta a számtani eljárásukat.
Georg Kantor: rövid életrajz
Született Szentpéterváron, 1845.03.03. Édesapja egy protestáns vallású dán, Georg-Valdemar Kantor, aki kereskedelemmel foglalkozott, többek között a tőzsdén is. Édesanyja, Maria Bem katolikus volt, és neves zenészcsaládból származott. Amikor Georg apja 1856-ban megbetegedett, a család először Wiesbadenbe, majd Frankfurtba költözött enyhébb éghajlatot keresve. A fiú matematikai tehetsége még a 15. születésnapja előtt megmutatkozott, miközben Darmstadtban és Wiesbadenben magániskolákban és gimnáziumokban tanult. Végül Georg Cantor meggyőzte apját arról a határozott szándékáról, hogy matematikus legyen, nem mérnök.
A Zürichi Egyetemen végzett rövid tanulmány után 1863-ban Kantor átigazolt a Berlini Egyetemre, hogy fizikát, filozófiát és matematikát tanuljon. Ott őtanított:
- Karl Theodor Weierstrass, akinek az elemzésre való specializációja volt valószínűleg a legnagyobb hatással Georgra;
- Ernst Eduard Kummer, aki magasabb aritmetikát tanított;
- Leopold Kronecker, számelméleti szakértő, aki később szembeszállt Cantorral.
Miután 1866-ban egy szemesztert eltöltött a Göttingeni Egyetemen, a következő évben Georg megírta doktori disszertációját "A matematikában a kérdezés művészete értékesebb, mint a problémamegoldás" címmel Carl Friedrich Gauss által felvetett problémáról. megoldatlan maradt Disquisitiones Arithmeticae (1801) című művében. Miután rövid ideig a berlini leányiskolában tanított, Kantor a Halle-i Egyetemen kezdett dolgozni, ahol élete végéig ott maradt, először tanárként, 1872-től adjunktusként, 1879-től pedig professzorként.
Kutatás
Az 1869-től 1873-ig tartó 10 tanulmányból álló sorozat elején Georg Cantor a számelméletet vette figyelembe. A munka a téma iránti szenvedélyét, Gauss-tanulmányait és Kronecker hatását tükrözte. Heinrich Eduard Heine, Cantor hallei kollégája, aki felismerte matematikai tehetségét, javaslatára a trigonometrikus sorozatok elméletéhez fordult, amelyben kibővítette a valós számok fogalmát.
Bernhard Riemann német matematikus 1854-ben végzett, egy komplex változó függvényére vonatkozó munkája alapján Kantor 1870-ben kimutatta, hogy egy ilyen függvény csak egyetlen módon ábrázolható - trigonometrikus sorozatokkal. Számok (pontok) halmazának figyelembevétele, amelynem mond ellent egy ilyen nézetnek, először is 1872-ben az irracionális számok racionális számok konvergens sorozatai (egész számok töredékei) definíciójához, majd életművével, halmazelméletével és koncepciójával kapcsolatos munka kezdetéhez vezette. transzfinit számok.
Szettelmélet
Georg Cantor, akinek halmazelmélete a Braunschweigi Műszaki Intézet matematikusával, Richard Dedekinddal folytatott levelezésből származik, gyermekkora óta barátja volt. Arra a következtetésre jutottak, hogy a halmazok, legyenek akár végesek, akár végtelenek, olyan elemek (pl. számok, {0, ±1, ±2…}) halmazai, amelyek egyéniségük megőrzése mellett rendelkeznek egy bizonyos tulajdonsággal. De amikor Georg Cantor egy-egy megfeleltetést használt (például {A, B, C} és {1, 2, 3}) jellemzőik tanulmányozására, gyorsan rájött, hogy tagságuk mértékében különböznek egymástól, ha végtelen halmazok lennének., azaz olyan halmazok, amelyek egy része vagy részhalmaza annyi objektumot tartalmaz, mint maga. Módszere hamarosan lenyűgöző eredményeket hozott.
1873-ban Georg Cantor (matematikus) kimutatta, hogy a racionális számok, bár végtelenek, megszámlálhatók, mert egy az egyhez megfeleltethetők természetes számokkal (azaz 1, 2, 3 stb.). d.). Megmutatta, hogy az irracionális és racionális számokból álló valós számok halmaza végtelen és megszámlálhatatlan. Még paradox módon, Cantor bebizonyította, hogy az összes algebrai szám halmaza annyi elemet tartalmaz, ahányhány az egész szám halmaza, és hogy a nem algebrai transzcendentális számok, amelyek az irracionális számok részhalmazai, megszámlálhatatlanok, ezért számuk nagyobb az egész számoknál, és végtelennek kell tekinteni őket.
Ellenfelek és támogatók
De Kantor dolgozata, amelyben először ismertette ezeket az eredményeket, nem jelent meg a Krellben, mivel az egyik lektor, Kronecker hevesen ellenezte. De Dedekind beavatkozása után 1874-ben "Az összes valós algebrai szám jellemző tulajdonságairól" címmel adták ki.
Tudomány és magánélet
Ugyanabban az évben, miközben feleségével, Wally Gutmannel nászútján a svájci Interlakenben, Kantor találkozott Dedekinddal, aki pozitívan nyilatkozott új elméletéről. György fizetése kicsi volt, de 1863-ban megh alt apja pénzén házat épített feleségének és öt gyermekének. Számos dolgozata Svédországban jelent meg az Acta Mathematica új folyóiratban, amelyet Gesta Mittag-Leffler szerkesztett és alapított, aki az elsők között ismerte fel a német matematikus tehetségét.
Kapcsolat a metafizikával
Cantor elmélete teljesen új témává vált a végtelen matematikájában (pl. 1., 2., 3. stb. sorozatok és bonyolultabb halmazok), amely nagymértékben függött az egy-egy megfeleltetéstől. Kantor új színreviteli módszerek kidolgozásaA folytonosságra és a végtelenségre vonatkozó kérdések kétértelmű jelleget kölcsönöztek kutatásának.
Amikor azzal érvelt, hogy végtelen számok valóban léteznek, az ókori és középkori filozófia felé fordult a tényleges és potenciális végtelenség tekintetében, valamint a korai vallásos oktatáshoz, amelyet szülei adtak neki. 1883-ban az általános halmazelmélet alapjai című könyvében Kantor egyesítette koncepcióját Platón metafizikájával.
Kronecker, aki azt állította, hogy csak egész számok „léteznek” („Isten teremtette az egész számokat, a többit az ember műve”), sok éven át hevesen elutasította érvelését, és megakadályozta, hogy a berlini egyetemre nevezzék ki.
Transzfinite számok
1895-97-ben. Georg Cantor a folytonosságról és a végtelenségről alkotott fogalmát, beleértve a végtelen sorszám- és kardinális számokat is, leghíresebb művében alakította ki, amely Hozzájárulások a transzfinit számok elméletének megalapozásához (1915) jelent meg. Ez az esszé tartalmazza az ő koncepcióját, amelyhez az vezette, hogy bebizonyította, hogy egy végtelen halmaz egy az egyhez illeszthető az egyik részhalmazával.
A legkevésbé transzfinit bíborszám alatt minden olyan halmaz számosságát értette, amely egy az egyhez megfeleltetésbe hozható természetes számokkal. Kántor aleph-null-nak nevezte. A nagy transzfinit halmazokat alef-egynek, alef-kettőnek stb. jelölik. Továbbfejlesztette a véges aritmetikához hasonló transzfinit számok aritmetikáját. szóval őgazdagította a végtelen fogalmát.
Az ellentét, amellyel szembesült, és az az idő, amibe eltelt elképzelései teljes körű elfogadása, annak köszönhető, hogy nehéz újraértékelni azt az ősi kérdést, hogy mi a szám. Cantor kimutatta, hogy egy egyenes ponthalmazának nagyobb a kardinalitása, mint az aleph-nulla. Ez a kontinuumhipotézis jól ismert problémájához vezetett – az aleph-nulla és az egyenes pontjainak hatványa között nincsenek kardinális számok. Ez a probléma a 20. század első és második felében nagy érdeklődést váltott ki, és sok matematikus, köztük Kurt Gödel és Paul Cohen is tanulmányozta.
Depresszió
Georg Kantor életrajzát 1884 óta beárnyékolta mentális betegsége, de továbbra is aktívan dolgozott. 1897-ben segített megtartani az első nemzetközi matematikai kongresszust Zürichben. Részben azért, mert Kronecker ellenezte, gyakran rokonszenvezett a fiatal matematikus feltörekvőkkel, és igyekezett megtalálni a módját, hogy megmentse őket az új ötletek miatt fenyegetett tanárok zaklatásától.
Elismerés
A századfordulón munkásságát teljes mértékben a függvényelmélet, -elemzés és topológia alapjaként ismerték el. Emellett Georg kántor könyvei lendületet adtak a matematika logikai alapjainak intuicionista és formalista iskoláinak további fejlődéséhez. Ez jelentősen megváltoztatta a tanítási rendszert, és gyakran az "új matematikához" kapcsolódik.
1911-ben Kantor is a meghívottak között volta skóciai St. Andrews Egyetem fennállásának 500. évfordulójának megünneplése. Abban a reményben ment oda, hogy találkozhat Bertrand Russell-lel, aki nemrég megjelent Principia Mathematica című művében többször is hivatkozott a német matematikusra, de ez nem történt meg. Az egyetem Kantornak díszoklevelet adományozott, de betegsége miatt nem tudta személyesen átvenni a kitüntetést.
Kantor 1913-ban nyugdíjba vonult, szegénységben élt és éhezett az első világháború alatt. 1915-ben a 70. születésnapja tiszteletére rendezett ünnepségeket a háború miatt lemondták, de egy kisebb ünnepségre otthonában került sor. 1918.06.01-én h alt meg Hallében, egy pszichiátriai kórházban, ahol élete utolsó éveit töltötte.
Georg Kantor: életrajz. Család
1874. augusztus 9-én egy német matematikus feleségül vette Wally Gutmannt. A párnak 4 fia és 2 lánya született. Az utolsó gyermek 1886-ban született a Kantor által vásárolt új házban. Apja öröksége segített neki eltartani családját. Kantor egészségét nagyban befolyásolta legkisebb fia 1899-ben bekövetkezett halála, és a depresszió azóta sem hagyta el.
