Számrendszerek – mi ez? Még anélkül is, hogy tudnánk erre a kérdésre a választ, mindannyian önkéntelenül is használunk számrendszereket életünkben, és nem is sejtjük. Így van, többes számban! Vagyis nem egy, hanem több. Mielőtt példákat mondanánk a nem pozíciós számrendszerekre, értsük meg ezt a kérdést, és beszéljünk a helyzetrendszerekről is.
Számla szükséges
Ősidők óta az embereknek volt igényük a számolásra, vagyis intuitív módon felismerték, hogy valamiképpen kvantitatív elképzelést kell kifejezniük a dolgokról és az eseményekről. Az agy azt javasolta, hogy tárgyakat kell használni a számoláshoz. Mindig is az ujjak voltak a legkényelmesebbek, és ez érthető is, mert mindig rendelkezésre állnak (ritka kivételektől eltekintve).
Tehát az emberi faj ősi képviselőinek szó szerint be kellett hajlítaniuk az ujjaikat – például, hogy jelezzék az elejtett mamutok számát. A beszámoló ilyen elemeinek még nem volt neve, csak vizuális képük, összehasonlításuk.
Modern helyzetszámrendszerek
A számrendszer a mennyiségi értékek és mennyiségek bizonyos jelek (szimbólumok vagy betűk) használatával történő megjelenítésének módszere (módja).
Meg kell értenünk, mi a pozicionális és mi a nem pozicionális a számolásban, mielőtt példákat adunk a nem pozíciós számrendszerekre. Számos helyzetszámrendszer létezik. Jelenleg a következők használatosak a különböző tudásterületeken: bináris (csak két jelentős elemet tartalmaz: 0 és 1), hexadecimális (karakterek száma - 6), oktális (karakterek - 8), duodecimális (tizenkét karakter), hexadecimális (tizenhatot tartalmaz) karakterek). Ráadásul a rendszerekben minden karaktersor nulláról kezdődik. A modern számítógépes technológiák bináris kódok – a bináris pozíciószámrendszer – használatán alapulnak.
Tizedes számrendszer
A pozicionalitás a szignifikáns pozíciók különböző fokú jelenléte, amelyeken a szám jelei találhatók. Ezt legjobban a decimális számrendszer példáján lehet bemutatni. Hiszen gyerekkorunk óta hozzászoktunk a használatához. Ebben a rendszerben tíz jel van: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Vegyük a 327-es számot. Három jele van: 3, 2, 7. Mindegyik saját pozíciója (helye). A hetes az egyes értékeknek (egységeknek) fenntartott pozíciót foglalja el, a kettő tízes, a három pedig százas. Mivel a szám háromjegyű, ezért csak három pozíció van benne.
A fentiek alapján ezegy háromjegyű decimális szám a következőképpen írható le: három száz, két tíz és hét egység. Ezenkívül a pozíciók jelentőségét (fontosságát) balról jobbra, a gyenge pozíciótól (egy) az erősebbig (több száz) számolja.
Nagyon jól érezzük magunkat a decimális helyzetszámrendszerben. Tíz ujjunk van a kezünkön, és ugyanennyi a lábunkon. Öt plusz öt - tehát az ujjaknak köszönhetően könnyen elképzelhetünk egy tucat gyerekkorból. Éppen ezért a gyerekek könnyen megtanulják az ötös és tízes szorzótáblát. És azt is nagyon könnyű megtanulni, hogyan kell megszámolni a bankjegyeket, amelyek legtöbbször többszörösei (azaz maradék nélkül osztva) öttel és tízzel.
Egyéb helyszámrendszerek
Sokak meglepetésére el kell mondanunk, hogy nem csak a decimális számlálórendszerben, agyunk hozzászokott bizonyos számításokhoz. Eddig az emberiség hat és duodecimális számrendszert használt. Vagyis egy ilyen rendszerben csak hat karakter van (hexadecimálisban): 0, 1, 2, 3, 4, 5. A duodecimálisban tizenkettő van belőlük: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, ahol A - a 10-et jelöli, B - a 11-et (mivel a jelnek egynek kell lennie).
Ítélje meg maga. Hatban számoljuk az időt, nem? Egy óra hatvan perc (hat tíz), egy nap huszonnégy óra (kétszer tizenkettő), egy év tizenkét hónap, és így tovább… Minden időintervallum könnyen belefér hat- és duodecimális sorozatba. De már annyira megszoktuk, hogy nem is gondolunk rá, amikor számoljuk az időt.
Nem pozíciós számrendszerek. Unary
Meg kell határozni, hogy mi ez - nem pozíciós számrendszer. Ez egy olyan jelrendszer, amelyben a számok előjeleinek nincs pozíciója, vagy a szám "olvasásának" elve nem függ a pozíciótól. Ennek is megvannak a maga szabályai az íráshoz és a számításhoz.
Vegyünk példákat nem pozíciós számrendszerekre. Térjünk vissza az ókorba. Az embereknek fiókra volt szükségük, és kitalálták a legegyszerűbb találmányt - a csomókat. A nem pozíciós számrendszer göbös. Egy tételt (egy zacskó rizs, bika, szénakazal stb.) megszámoltak például vételkor vagy eladáskor, és csomót kötöttek egy madzagra.
Ennek eredményeként ahány csomót kötöttek a kötélen, annyi zsák rizst vettek (példaként). De lehet az is, hogy bevágások fapálcán, kőlapon stb. Az ilyen számrendszer noduláris néven vált ismertté. Van egy második neve is – unáris vagy szingli (az „uno” latinul „egyet” jelent).
Nyilvánvalóvá válik, hogy ez a számrendszer nem pozicionális. Hiszen milyen pozíciókról beszélhetünk, amikor az (a pozíció) csak egy! Furcsa módon a Föld egyes részein még mindig használatban van az unáris, nem pozíciós számrendszer.
A nem pozíciós számrendszerek a következőket is tartalmazzák:
- Római (betűket használnak számok írásához – latin karakterek);
- ókori egyiptomi (a rómaihoz hasonlóan szimbólumokat is használtak);
- ábécé (az ábécé betűit használták);
- babiloni (ékírásos – közvetlenül ésfordított "ék");
- görög (ábécéként is említik).
Római számrendszer
Az ókori Római Birodalom, valamint tudománya nagyon progresszív volt. A rómaiak a tudomány és a művészet számos hasznos találmányát adták a világnak, beleértve a számolási rendszerüket is. Kétszáz évvel ezelőtt az üzleti dokumentumokban római számokat használtak az összegek jelölésére (így elkerülték a hamisítást).
A római számozás egy példa a nem pozíciós számrendszerre, ma már ismerjük. Ezenkívül a római rendszert aktívan használják, de nem matematikai számításokhoz, hanem szűken fókuszált tevékenységekhez. Például a római számok segítségével szokás történelmi dátumokat, évszázadokat, kötetszámokat, szakaszokat, fejezeteket jelölni a könyvkiadványokban. A római jeleket gyakran használják az óralapok díszítésére. És a római számozás is egy példa a nem pozíciós számrendszerre.
A rómaiak a számokat latin betűkkel jelölték. Sőt, bizonyos szabályok szerint felírták a számokat. A római számrendszerben van egy lista a kulcsszimbólumokról, amelyek segítségével kivétel nélkül minden számot írtunk.
| Szám (tizedes) | Római szám (a latin ábécé betűje) |
| 1 | Én |
| 5 | V |
| 10 | X |
| 50 | L |
| 100 | C |
| 500 | D |
| 1000 | M |
Számok komponálásának szabályai
A szükséges számot előjelek (latin betűk) összeadásával és azok összegének kiszámításával kaptuk meg. Nézzük meg, hogyan írják szimbolikusan a jeleket a római rendszerben, és hogyan kell őket „olvasni”. Soroljuk fel a számképzés főbb törvényeit a római nempozíciós számrendszerben.
- A négyes szám – IV, két karakterből áll (I, V – egy és öt). Ezt úgy kapjuk meg, hogy a kisebb jelet kivonjuk a nagyobbból, ha az balra van. Ha a kisebb tábla a jobb oldalon található, hozzá kell adni, akkor kapja meg a hatos számot - VI.
- Két egyforma jelet kell egymás mellé tenni. Például: SS=200 (C=100), vagy XX=20.
- Ha egy szám első jele kisebb, mint a második, akkor a sor harmadik karaktere lehet olyan karakter, amelynek értéke még az elsőnél is kisebb. A félreértések elkerülése érdekében íme egy példa: CDX - 410 (tizedesjegyben).
- Néhány nagy szám többféleképpen ábrázolható, ami a római számlálási rendszer egyik hátránya. Íme néhány példa: MVM (római)=1000 + (1000 - 5)=1995 (tizedes) vagy MDVD=1000 + 500 + (500 - 5)=1995. És ez még nem minden.
Aritmetikai trükkök
A nem pozíciós számrendszer néha a számok képzésére, feldolgozására (a rajtuk végzett műveletekre) vonatkozó összetett szabályrendszer. Az aritmetikai műveletek nem pozíciós számrendszerekben nem egyszerűeka modern emberek számára. Nem irigyeljük az ókori római matematikusokat!
Példa a kiegészítésre. Próbáljunk meg két számot összeadni: XIX + XXVI=XXXV, ez a feladat két lépésben történik:
- Először is - vedd össze a számok kisebb törtrészeit: IX + VI=XV (V után I és X előtt én "elpusztítják" egymást).
- Második – két szám nagy törtrészeinek hozzáadása: X + XX=XXX.
A kivonás valamivel bonyolultabb. A csökkentendő számot fel kell osztani alkotóelemeire, majd a redukálandó és kivonandó számban a redukálandó duplikált karaktereket. Vonja ki 263-at 500-ból:
D - CCLXIII=CCCCLXXXXVIIIIII - CCLXIII=CCXXXVII.
Római számszorzás. Egyébként meg kell említeni, hogy a rómaiaknál nem voltak számtani műveletek jelei, egyszerűen csak szavakkal jelölték őket.
A többszörös számot meg kellett szorozni a szorzó minden egyes szimbólumával, így több terméket kellett hozzáadni. A polinomok így szorozódnak.
Ami az osztást illeti, a római számrendszerben ez a folyamat volt és marad a legnehezebb. Itt az ókori római abakuszt használták. A vele való együttműködéshez az embereket speciális képzésben részesítették (és nem mindenkinek sikerült elsajátítania ezt a tudományt).
A nem pozicionális rendszerek hátrányairól
Amint fentebb említettük, a nem pozíciós számrendszereknek megvannak a hátrányai, a használat során felmerülő kellemetlenségek. Az unáris elég egyszerű az egyszerű számoláshoz, de az aritmetikai és összetett számításokhoz nem azelég jó.
A római nyelvben nincsenek egységes szabályok a nagy számok képzésére, és zavarok keletkeznek, és nagyon nehéz számításokat végezni benne. Ezenkívül a legnagyobb szám, amit az ókori rómaiak le tudtak írni módszerükkel, 100 000 volt.
