Mi rejtőzik a titokzatos "axióma" szó mögött, honnan származik és mit jelent? Egy 7-8. osztályos kisiskolás könnyen meg tudja válaszolni ezt a kérdést, hiszen egészen a közelmúltban, a planimetria alapszakának elsajátításakor már szembesült azzal a feladattal: "Milyen állításokat nevezünk axiómának, mondjon példákat." Egy felnőtt hasonló kérdése valószínűleg nehézségekhez vezet. Minél több idő telik el a tanulás pillanatától, annál nehezebb megjegyezni a tudomány alapjait. Az "axióma" szót azonban gyakran használják a mindennapi életben.
Kifejezés meghatározása
Tehát mely állításokat nevezzük axiómának? Az axiómák példái nagyon változatosak, és nem korlátozódnak a tudomány egyetlen területére. Az említett kifejezés az ókori görög nyelvből származik, és szó szerinti fordításban azt jelenti: „az elfogadott álláspont”.
A kifejezés szigorú meghatározása szerint az axióma minden olyan elmélet fő tézise, amely nem szorul bizonyításra. Ez a fogalom széles körben elterjedt a matematikában (és különösen a geometriában), a logikában, a filozófiában.
Még az ókori görög Arisztotelész is azt mondta, hogy a nyilvánvaló tények nem szorulnak bizonyításra. Például senki sem kételkedikhogy a napfény csak nappal látható. Ezt az elméletet egy másik matematikus, Euklidész dolgozta ki. Egy példa a párhuzamos egyenesekre vonatkozó axiómára, amelyek soha nem metszik egymást.
Az idő múlásával a fogalom meghatározása megváltozott. Most az axiómát nem csak a tudomány kezdeteként, hanem valamilyen közbenső eredményként is felfogjuk, amely további elmélet kiindulópontjaként szolgál.
Nyilatkozatok az iskolai tanfolyamról
Az iskolások matematika órán ismerkednek meg a megerősítést nem igénylő posztulátumokkal. Ezért, amikor az érettségizők azt a feladatot kapják: "Adjon példákat az axiómákra", leggyakrabban a geometria és az algebra kurzusait idézik fel. Íme néhány példa a gyakori válaszokra:
- egy vonalhoz vannak olyan pontok, amelyek hozzátartoznak (vagyis az egyenesen fekszenek) és nem tartoznak hozzá (ne feküdjenek az egyenesen);
- egyenes vonal húzható bármely két ponton keresztül;
- egy sík két félsíkra osztásához egyenes vonalat kell húzni.
Az algebra és az aritmetika nem vezet be kifejezetten ilyen állításokat, de az axiómára ezekben a tudományokban találunk példát:
- bármely szám egyenlő önmagával;
- egy megelőz minden természetes számot;
- ha k=l, akkor l=k.
Így egyszerű téziseken keresztül bonyolultabb fogalmakat vezetnek be, következtetéseket vonnak le és tételeket vezetnek le.
Tudományos elmélet építése axiómák alapján
A tudományos elmélet felépítéséhez (mindegy, hogy milyen kutatási területről van szó), szükség van egy alapra - a téglákra, amelyekből készültösszeadódik. Az axiomatikus módszer lényege: terminusszótár készül, egy axióma példája megfogalmazódik, amely alapján a fennmaradó posztulátumokat levezetik.
Egy tudományos szószedetnek elemi fogalmakat kell tartalmaznia, vagyis azokat, amelyeket nem lehet másokon keresztül meghatározni:
- Az egyes kifejezések szekvenciális magyarázata, jelentésük felvázolása elérheti bármely tudomány alapjait.
- A következő lépés az állítások alaphalmazának azonosítása, aminek elegendőnek kell lennie az elmélet többi állításának bizonyításához. Magukat az alapvető posztulátumokat indoklás nélkül elfogadjuk.
- Az utolsó lépés a tételek felépítése és logikai levezetése.
Posztulátumok különböző tudományokból
Bizonyíték nélküli kifejezések nemcsak az egzakt tudományokban léteznek, hanem azokban is, amelyeket általában bölcsészettudománynak neveznek. Kirívó példa erre a filozófia, amely az axiómát gyakorlati ismeretek nélkül is megismerhető állításként határozza meg.
Van példa egy axiómára a jogtudományban: "az ember nem ítélheti meg saját tettét". Ebből az állításból származtatják a polgári jogi normákat - a jogi eljárások pártatlanságát, vagyis a bíró nem tárgyalhatja az ügyet, ha abban közvetve vagy közvetlenül érdekelt.
Nem mindent vesznek magától értetődőnek
Az igaz axiómák és az igaznak nyilvánított egyszerű kifejezések közötti különbség megértéséhez elemezni kell a velük való kapcsolatot. Például ha a beszédolyan vallásról van szó, ahol mindent magától értetődőnek vesznek, elterjedt a teljes meggyőződés elve, hogy valami igaz, hiszen nem lehet bizonyítani. A tudományos közösségben pedig arról beszélnek, hogy még lehetetlen bizonyos álláspontot ellenőrizni, illetve ez axióma lesz. A kételkedésre, az ellenőrzésre való hajlandóság az, ami megkülönbözteti az igazi tudóst.
