Annak érdekében, hogy az olvasó könnyebben el tudja képzelni, mi is az a hiperboloid - egy háromdimenziós objektum -, először is figyelembe kell vennie az azonos nevű görbe hiperbolát, amely egy kétdimenziós térbe illeszkedik.
A hiperbolának két tengelye van: a valós, amely ezen az ábrán egybeesik az abszcissza tengellyel, és a képzeletbeli, az y tengellyel. Ha gondolatban elkezdi forgatni egy hiperbola egyenletét a képzeletbeli tengelye körül, akkor a görbe által "látott" felület egy lapos hiperboloid lesz.
Ha azonban így kezdjük el forgatni a hiperbolát a valós tengelye körül, akkor a görbe két "fele" különálló felületet alkot, és együtt két- lapos hiperboloid.
A megfelelő síkgörbe elforgatásával érhető el, ezeket rendre elforgatási hiperboloidoknak nevezzük. Paramétereik vannak a forgástengelyre merőleges minden irányban,az elforgatott görbéhez tartozó. Általában nem ez a helyzet.
Hiperboloid egyenlet
Általában egy felület a következő egyenletekkel definiálható derékszögű koordinátákkal (x, y, z):
A forgáshiperboloid esetében a forgási tengely körüli szimmetriája az a=b együtthatók egyenlőségében fejeződik ki.
Hiperboloid jellemzők
Van egy trükkje. Tudjuk, hogy a síkon lévő görbéknek vannak fókuszai – például hiperbola esetén a hiperbola tetszőleges pontja és az egyik fókusz közötti távolságok különbségének modulja, a második pedig definíció szerint állandó, valójában a fókusz. pontok.
A háromdimenziós térbe költözve a definíció gyakorlatilag nem változik: a gócok ismét két pont, és a távolságkülönbség tőlük a hiperboloid felülethez tartozó tetszőleges pontig állandó. Amint látható, az összes lehetséges pont változásaiból csak a harmadik koordináta jelent meg, mivel ezek most térben vannak beállítva. Általánosságban elmondható, hogy a fókusz meghatározása egyenértékű a görbe vagy felület típusának meghatározásával: ha arról beszélünk, hogy a felület pontjai hogyan helyezkednek el a gócokhoz képest, akkor tulajdonképpen választ adunk arra a kérdésre, hogy mi a hiperboloid és hogyan néz ki.
Érdemes megjegyezni, hogy a hiperbolának vannak aszimptotái - egyenesek, amelyekhez az ágai a végtelenségig hajlanak. Ha a forradalom hiperboloidjának megalkotásakor az aszimptotákat a hiperbolával együtt mentálisan forgatjuk, akkor a hiperboloid mellett egy aszimptotikus kúpot is kapunk. Az aszimptotikus kúp azegylapos és kétlapos hiperboloidokhoz.
Egy másik fontos jellemzője, amellyel csak egy lapos hiperboloid rendelkezik, az egyenes vonalú generátorok. Ahogy a név is sugallja, ezek vonalak, és teljesen egy adott felületen fekszenek. Két egyenes vonalú generátor halad át egy egylapos hiperboloid minden pontján. Két sorcsaládhoz tartoznak, amelyeket a következő egyenletrendszerek írnak le:
Így egy egylapos hiperboloid teljes egészében két család végtelen számú egyeneséből állhat, és ezek egyikének minden vonala metszi a másik vonalát. Az ilyen tulajdonságoknak megfelelő felületeket szabályosnak nevezzük; egy egyenes elforgatásával megszerkeszthetők. A vonalak (egyenes generátorok) térbeli kölcsönös elrendezésén keresztüli definíció egyben egyértelmű megjelöléseként is szolgálhat annak, hogy mi a hiperboloid.
A hiperboloid érdekes tulajdonságai
A másodrendű görbék és a hozzájuk tartozó forgásfelületek érdekes optikai tulajdonságokkal rendelkeznek a fókuszokhoz kapcsolódóan. Hiperboloid esetén ez a következőképpen fogalmazódik meg: ha egy sugár az egyik fókuszból indul ki, akkor a legközelebbi „falról” visszaverve olyan irányt vesz fel, mintha a második fókuszból származna.
Hiperboloidok az életben
Valószínűleg a legtöbb olvasó Alekszej Tolsztoj tudományos-fantasztikus regényéből kezdte az analitikus geometriával és a másodrendű felületekkel való ismerkedést."Garin hiperboloid mérnök". Maga az író azonban vagy nem tudta jól, mi az a hiperboloid, vagy feláldozta a pontosságot a művésziség kedvéért: a leírt találmány a fizikai jellemzőket tekintve inkább egy paraboloid, amely az összes sugarat egy fókuszba gyűjti (míg a a hiperboloid optikai tulajdonságai a sugarak szórásával kapcsolatosak).
Az úgynevezett hiperboloid szerkezetek nagyon népszerűek az építészetben: ezek olyan szerkezetek, amelyek egylapos hiperboloid vagy hiperbolikus paraboloid alakúak. Az a helyzet, hogy csak ezek a másodrendű forgásfelületek rendelkeznek egyenes vonalú generátorral: így csak egyenes gerendákból lehet íves szerkezetet építeni. Az ilyen szerkezetek előnye abban rejlik, hogy képesek ellenállni a nagy terheléseknek, például a szélnek: a hiperboloid alakot magas építmények, például televíziótornyok építésekor használják.
